Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes.
\int_{1}^{\pi / 2} \operatorname{sec} x d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{1}^{\pi/2} \operatorname{sec} x \, dx
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. Informações dadas importantes: o integrando é \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e o intervalo de integração é [1,\pi/2]. Note que em x=\pi/2 temos \cos(\pi/2)=0, então o integrando é singular no extremo superior do intervalo. Portanto trata‑se de uma integral imprópria com singularidade no limite superior.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como um limite à medida que o ponto problemático é aproximado por dentro do intervalo. Escrevemos
\int_{1}^{\pi/2} \operatorname{sec} x \, dx = \lim_{b\to(\pi/2)^-} \int_{1}^{b} \operatorname{sec} x \, dx,
ou seja, calculamos a integral definida em [1,b] e depois fazemos b aproximar‑se de \pi/2 pela esquerda (porque para x<\pi/2 a função está bem definida).

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de \operatorname{sec} x. Vou mostrar uma técnica clássica (muito útil na prova): multiplicar e dividir por \operatorname{sec} x+\tan x e usar substituição. Começamos com
\int \operatorname{sec} x \, dx = \int \frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)}{\operatorname{sec} x+\tan x} \, dx = \int \frac{\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x \tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} \, dx.
Agora fazemos a substituição
u=\operatorname{sec} x+\tan x.
Calculamos du: como \frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x e \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x,
du=(\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x)\,dx.
A numerador da nossa integral é exatamente du, então temos
\int \operatorname{sec} x \, dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| + C.
Portanto, uma primitiva válida é \ln|\operatorname{sec} x+\tan x|.

Passo 4

Usando a primitiva para a integral definida em [1,b] temos
\int_{1}^{b} \operatorname{sec} x \, dx = \left[\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\right]_{x=1}^{x=b} = \ln\bigl|\operatorname{sec} b+\tan b\bigr| - \ln\bigl|\operatorname{sec} 1+\tan 1\bigr|.
Observação: \operatorname{sec} 1 e \tan 1 são finitos (lembre que 1 está em radianos, aproximadamente 57{,}3^\circ), então a segunda parcela é um número finito fixo.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando b\to(\pi/2)^-. Para b aproximando‑se de \pi/2 pela esquerda temos \cos b\to 0^+ e \sin b\to 1^-. Assim
\operatorname{sec} b=\frac{1}{\cos b}\to +\infty,\qquad \tan b=\frac{\sin b}{\cos b}\to +\infty,
então a soma \operatorname{sec} b+\tan b\to +\infty. Logo
\lim_{b\to(\pi/2)^-}\ln\bigl(\operatorname{sec} b+\tan b\bigr)=+\infty.
Substituindo no passo anterior obtemos que
\lim_{b\to(\pi/2)^-}\int_{1}^{b}\operatorname{sec} x\,dx = +\infty - \ln\bigl(\operatorname{sec} 1+\tan 1\bigr)=+\infty.
Portanto o limite não é finito: a integral imprópria diverge e, mais precisamente, diverge para +\infty.

Passo 6

Conclusão final e comentário prático: como a primitiva cresce sem limite quando x\to\pi/2^-, a integral impropria não converge. Na hora da prova, se visses \int_{a}^{\pi/2}\operatorname{sec} x\,dx com a<\pi/2, bastaria escrever o limite do tipo do Passo 2, usar a primitiva do Passo 3 e observar que a contribuição do extremo tende a +\infty.

Resposta

Divergente (a integral diverge para +\infty).

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