Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes. \int_{1}^{\pi / 2} \operatorname{sec} x d x
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{1}^{\pi/2} \operatorname{sec} x \, dx
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. Informações dadas importantes: o integrando é \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e o intervalo de integração é [1,\pi/2]. Note que em x=\pi/2 temos \cos(\pi/2)=0, então o integrando é singular no extremo superior do intervalo. Portanto trata‑se de uma integral imprópria com singularidade no limite superior.
Passo 2
Definimos a integral imprópria como um limite à medida que o ponto problemático é aproximado por dentro do intervalo. Escrevemos
\int_{1}^{\pi/2} \operatorname{sec} x \, dx = \lim_{b\to(\pi/2)^-} \int_{1}^{b} \operatorname{sec} x \, dx,
ou seja, calculamos a integral definida em [1,b] e depois fazemos b aproximar‑se de \pi/2 pela esquerda (porque para x<\pi/2 a função está bem definida).
Passo 3
Precisamos de uma primitiva de \operatorname{sec} x. Vou mostrar uma técnica clássica (muito útil na prova): multiplicar e dividir por \operatorname{sec} x+\tan x e usar substituição. Começamos com
\int \operatorname{sec} x \, dx = \int \frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)}{\operatorname{sec} x+\tan x} \, dx = \int \frac{\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x \tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} \, dx.
Agora fazemos a substituição
u=\operatorname{sec} x+\tan x.
Calculamos du: como \frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x e \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x,
Observação: \operatorname{sec} 1 e \tan 1 são finitos (lembre que 1 está em radianos, aproximadamente 57{,}3^\circ), então a segunda parcela é um número finito fixo.
Passo 5
Agora tomamos o limite quando b\to(\pi/2)^-. Para b aproximando‑se de \pi/2 pela esquerda temos \cos b\to 0^+ e \sin b\to 1^-. Assim
Portanto o limite não é finito: a integral imprópria diverge e, mais precisamente, diverge para +\infty.
Passo 6
Conclusão final e comentário prático: como a primitiva cresce sem limite quando x\to\pi/2^-, a integral impropria não converge. Na hora da prova, se visses \int_{a}^{\pi/2}\operatorname{sec} x\,dx com a<\pi/2, bastaria escrever o limite do tipo do Passo 2, usar a primitiva do Passo 3 e observar que a contribuição do extremo tende a +\infty.