Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente, e calcular a integral caso seja convergente. Informação relevante dada: a função
está indefinida onde
, ou seja em
. Note que
pertence ao intervalo de integração
. Não faço ainda nenhuma outra suposição nem resolução aqui, apenas listo o que o enunciado fornece e o que é solicitado.
Passo 2
Explicação didática do procedimento para integrais impróprias com singularidade interna: quando a função tem uma descontinuidade (polo) em um ponto interior ao intervalo de integração, devemos dividir a integral em duas integrais próprias limitadas por aquele ponto e estudar cada uma por meio de limites unilaterais. Ou seja, escrevemos
A integral original converge somente se ambos os limites acima existirem e forem finitos. Se algum dos limites for infinito ou não existir, a integral imprópria diverge.
Passo 3
Calcule a primitiva (antiderivada) da função
. Uma forma prática: usar substituição
, então
,
. Assim
Verificação rápida: derivando
obtemos
, certo.
Passo 4
Estude a integral na parte esquerda da descontinuidade, isto é
como limite:
Avalie as expressões: para
temos
e
. Para
temos
e
. Portanto
Ao fazer
temos
, então
. Conclusão:
Portanto a integral pela esquerda diverge (vai para
).
Passo 5
Estude a integral na parte direita da descontinuidade, isto é
como limite:
Para
temos
e
. Para
temos
. Assim
Ao fazer
temos
, então
e
. Logo
Portanto a integral pela direita diverge (vai para
).
Passo 6
Conclusão sobre a integral imprópria: como a soma dos dois limites unilaterais envolve um limite que tende a
e outro que tende a
, ao menos um (na verdade ambos) não são finitos. Pelo critério do Passo 2, a integral imprópria
é divergente — não converge para um número real.
Passo 7
Comentário adicional (útil para a prova, mas não altera a conclusão acima): existe o conceito de valor principal de Cauchy (principal value), que é definido por cortar simetricamente em torno da singularidade e depois tomar limite. Para essa integral, o valor principal é finito e igual a
. Cálculo rápido do valor principal: para
,
leva, após substituição da primitiva e simplificação, a
independentemente de
no limite
. Atenção: esse valor principal não implica que a integral imprópria original seja convergente; é apenas uma regularização simétrica.
Resposta
A integral é divergente (não converge).