Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{2} \frac{1}{2 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{2}\frac{1}{2x-1}\,dx
é convergente ou divergente, e calcular a integral caso seja convergente. Informação relevante dada: a função x\mapsto\frac{1}{2x-1} está indefinida onde 2x-1=0, ou seja em x=\frac{1}{2}. Note que \frac{1}{2} pertence ao intervalo de integração [0,2]. Não faço ainda nenhuma outra suposição nem resolução aqui, apenas listo o que o enunciado fornece e o que é solicitado.

Passo 2

Explicação didática do procedimento para integrais impróprias com singularidade interna: quando a função tem uma descontinuidade (polo) em um ponto interior ao intervalo de integração, devemos dividir a integral em duas integrais próprias limitadas por aquele ponto e estudar cada uma por meio de limites unilaterais. Ou seja, escrevemos
\int_{0}^{2}\frac{1}{2x-1}\,dx = \lim_{a\to\frac{1}{2}^-}\int_{0}^{a}\frac{1}{2x-1}\,dx + \lim_{b\to\frac{1}{2}^+}\int_{b}^{2}\frac{1}{2x-1}\,dx.
A integral original converge somente se ambos os limites acima existirem e forem finitos. Se algum dos limites for infinito ou não existir, a integral imprópria diverge.

Passo 3

Calcule a primitiva (antiderivada) da função \frac{1}{2x-1}. Uma forma prática: usar substituição u=2x-1, então du=2\,dx, dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int\frac{1}{2x-1}\,dx = \int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\ln|u|+C = \frac{1}{2}\ln|2x-1|+C.
Verificação rápida: derivando \frac{1}{2}\ln|2x-1| obtemos \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{2x-1}, certo.

Passo 4

Estude a integral na parte esquerda da descontinuidade, isto é \int_{0}^{1/2}\frac{1}{2x-1}\,dx como limite:
\lim_{a\to\frac{1}{2}^-}\int_{0}^{a}\frac{1}{2x-1}\,dx = \lim_{a\to\frac{1}{2}^-}\left[\frac{1}{2}\ln|2x-1|\right]_{x=0}^{x=a}.
Avalie as expressões: para x=0 temos |2\cdot0-1|=1 e \ln 1=0. Para x=a<\tfrac{1}{2} temos 2a-1<0 e |2a-1|=1-2a. Portanto
\int_{0}^{a}\frac{1}{2x-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(1-2a).
Ao fazer a\to\frac{1}{2}^- temos 1-2a\to 0^+, então \ln(1-2a)\to -\infty. Conclusão:
\lim_{a\to\frac{1}{2}^-}\int_{0}^{a}\frac{1}{2x-1}\,dx=-\infty.
Portanto a integral pela esquerda diverge (vai para -\infty).

Passo 5

Estude a integral na parte direita da descontinuidade, isto é \int_{1/2}^{2}\frac{1}{2x-1}\,dx como limite:
\lim_{b\to\frac{1}{2}^+}\int_{b}^{2}\frac{1}{2x-1}\,dx = \lim_{b\to\frac{1}{2}^+}\left[\frac{1}{2}\ln|2x-1|\right]_{x=b}^{x=2}.
Para x=2 temos |2\cdot2-1|=3 e \ln 3. Para x=b>\tfrac{1}{2} temos |2b-1|=2b-1. Assim
\int_{b}^{2}\frac{1}{2x-1}\,dx=\frac{1}{2}\big(\ln 3-\ln(2b-1)\big).
Ao fazer b\to\frac{1}{2}^+ temos 2b-1\to 0^+, então \ln(2b-1)\to -\infty e -\ln(2b-1)\to +\infty. Logo
\lim_{b\to\frac{1}{2}^+}\int_{b}^{2}\frac{1}{2x-1}\,dx=+\infty.
Portanto a integral pela direita diverge (vai para +\infty).

Passo 6

Conclusão sobre a integral imprópria: como a soma dos dois limites unilaterais envolve um limite que tende a -\infty e outro que tende a +\infty, ao menos um (na verdade ambos) não são finitos. Pelo critério do Passo 2, a integral imprópria
\int_{0}^{2}\frac{1}{2x-1}\,dx
é divergente — não converge para um número real.

Passo 7

Comentário adicional (útil para a prova, mas não altera a conclusão acima): existe o conceito de valor principal de Cauchy (principal value), que é definido por cortar simetricamente em torno da singularidade e depois tomar limite. Para essa integral, o valor principal é finito e igual a \tfrac{1}{2}\ln 3. Cálculo rápido do valor principal: para \varepsilon>0,
\int_{0}^{\frac{1}{2}-\varepsilon}\frac{1}{2x-1}\,dx+\int_{\frac{1}{2}+\varepsilon}^{2}\frac{1}{2x-1}\,dx
leva, após substituição da primitiva e simplificação, a \tfrac{1}{2}\ln 3 independentemente de \varepsilon no limite \varepsilon\to 0^+. Atenção: esse valor principal não implica que a integral imprópria original seja convergente; é apenas uma regularização simétrica.

Resposta

A integral é divergente (não converge).

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