Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[4]{1+x}} d x
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[4]{1+x}} d x
Passo 1
O problema pede para analisar a integral imprópria
Isso envolve verificar a convergência em dois pontos críticos:
(extremo inferior, mas sem singularidade real) e
(extremo superior infinito). O conteúdo usado será teste de p-séries e cálculo de antiderivada.
Passo 2
Verificamos primeiro o comportamento em
. Como
é contínua em todo intervalo que inclua
, a parte de
até, digamos,
é finita. Logo não há divergência no limite inferior.
Passo 3
Para
, comparamos
Sabe-se pelo teste da p-série que
converge se, e somente se,
. Aqui
, portanto a parcela de
até
diverge.
Passo 4
Para confirmar, calculamos a antiderivada geral:
Logo
Tomando
,
, e a integral diverge.
Resposta
A integral diverge.