Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[4]{1+x}} d x

Passo 1

O problema pede para analisar a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[4]{1+x}}\,dx
Isso envolve verificar a convergência em dois pontos críticos: x=0 (extremo inferior, mas sem singularidade real) e x\to\infty (extremo superior infinito). O conteúdo usado será teste de p-séries e cálculo de antiderivada.

Passo 2

Verificamos primeiro o comportamento em x=0. Como
\frac{1}{\sqrt[4]{1+x}}
é contínua em todo intervalo que inclua x=0, a parte de 0 até, digamos, 1 é finita. Logo não há divergência no limite inferior.

Passo 3

Para x\to\infty, comparamos
\frac{1}{\sqrt[4]{1+x}} \sim \frac{1}{x^{1/4}}.
Sabe-se pelo teste da p-série que
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac14<1, portanto a parcela de 1 até \infty diverge.

Passo 4

Para confirmar, calculamos a antiderivada geral:
\int (1+x)^{-1/4}\,dx =\frac{(1+x)^{3/4}}{\tfrac34} =\frac{4}{3}(1+x)^{3/4}.
Logo
\int_{0}^{R}\frac{1}{\sqrt[4]{1+x}}\,dx =\frac{4}{3}\bigl[(1+R)^{3/4}-1\bigr].
Tomando R\to\infty, (1+R)^{3/4}\to\infty, e a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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