Questão 3: Determine se as Séries abaixo convergem ou divergem. Apresentar todos os cálculos e indicar o teste que foi usado
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}\left(3 n^{6}+2\right)}{5 n^{8}-n^{4}+2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}\bigl(3n^{6}+2\bigr)}{5n^{8}-n^{4}+2}.
O teste mais direto aqui é o teste da divergência (também chamado de teste do termo geral): se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, a série diverge.

Passo 2

Denotando
a_n = \frac{n^{2}\bigl(3n^{6}+2\bigr)}{5n^{8}-n^{4}+2} = \frac{3n^{8}+2n^{2}}{5n^{8}-n^{4}+2},
dividimos numerador e denominador por n^{8}:
a_n = \frac{3 + 2\,n^{-6}}{5 - n^{-4} + 2\,n^{-8}}.
Portanto
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{3}{5}\neq 0.

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero, a condição necessária para convergência de uma série não é satisfeita. Pelo teste da divergência, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência.

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