\lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\ y \rightarrow 1 \\ z \rightarrow 1}}\left(x^{2}+y^{2}, \frac{x \cdot y}{z}, \frac{x-2}{x^{2}-4}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\displaystyle \lim_{\substack{x \to 2 \\\ y \to 1 \\\ z \to 1}}\bigl(x^{2}+y^{2},\,\frac{x\,y}{z},\,\frac{x-2}{x^{2}-4}\bigr).
O conteúdo é cálculo de limite de funções por substituição direta e, se necessário, simplificação algébrica.

Passo 2

Para a primeira componente f(x,y)=x^{2}+y^{2}, usamos continuidade dos polinômios e fazemos substituição direta x=2 e y=1:
\lim_{\substack{x \to 2 \\\ y \to 1}}(x^{2}+y^{2}) =2^{2}+1^{2} =4+1 =5.

Passo 3

Para a segunda componente g(x,y,z)=\frac{x\,y}{z}, a função é contínua em z\neq 0, e aqui z\to1\neq0. Substituindo x=2, y=1, z=1:
\lim_{\substack{x \to 2 \\\ y \to 1 \\\ z \to 1}}\frac{x\,y}{z} =\frac{2\cdot1}{1} =2.

Passo 4

Para a terceira componente h(x)=\frac{x-2}{x^{2}-4}, primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
logo, para x\neq2,
\frac{x-2}{x^{2}-4} =\frac{x-2}{(x-2)(x+2)} =\frac{1}{x+2}.
Como \frac{1}{x+2} é contínua em x=2, temos
\lim_{x\to2}\frac{x-2}{x^{2}-4} =\lim_{x\to2}\frac{1}{x+2} =\frac{1}{2+2} =\frac{1}{4}.

Resposta

\bigl(5,\;2,\;\tfrac{1}{4}\bigr).

Exercícios relacionados