Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^pi2 tan x d x

Passo 1

A questão pede para ver se a integral impropria tan x converge ou diverge. O conteúdo é integrais impróprias e vamos precisar usar a definição por limite e a primitiva de .

Passo 2

Observamos que tan x tende a +infty quando xtopi2^-, então definimos a integral como limite
integral0^pi2 tan x,dx = limbtopi2^- integral0^b tan x,dx

Passo 3

Calculemos a primitiva de tan x. Sabemos que
integral tan x,dx = integral sin xcos x,dx = -lnl|cos xr| + C
Logo,
integral0^b tan x,dx = l[-ln|cos x|r]0^b = -lnl(cos br) + lnl(cos 0r)

Passo 4

Como cos 0 = 1 e cos bto 0^+ quando btopi2^-, temos
-ln(cos b) + ln(1) = -ln(cos b) to +infty
Portanto o limite não existe finito e a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados