Determine se cada integral é convergente ou divergente (justifique). Calcule aquelas que são convergentes.
integral1^infty 1x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se a integral integral1^infty 1x^3 dx é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprias, especificamente aquelas que vão até o infinito. Para resolver, vamos usar o teste de comparação e as regras de integração de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se ela resulta em um número finito quando calculamos o limite. Já é divergente se o resultado é infinito ou não existe. No nosso caso, estamos integrando de 1 até infinito, então precisamos ver se o resultado vai chegar a um número limitado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral1^infty 1x^3 dx. Para integrar uma função da forma 1x^n, usamos a regra:
integral 1x^n dx = x^-n+1-n+1 + C (para n neq 1)
No nosso caso, n = 3, então a integral fica:
integral 1x^3 dx = x^-3+1-3+1 = x^-2-2 = -12x^2

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 ao infinito. Isso significa que vamos calcular:
limb to infty [ -12b^2 + 12(1)^2 ]
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculamos o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty -12b^2 = 0
Isso porque, conforme b cresce, b^2 fica bem grande e 1b^2 fica bem pequeno, aproximando-se de zero.

Passo 6

Agora, substituímos esse limite na expressão original:
0 + 12(1)^2 = 0 + 12 = 12

Resposta

A integral integral1^infty 1x^3 dx é convergente e seu valor é 12.

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