Determine se cada integral é convergente ou divergente (justifique). Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se a integral
é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprias, especificamente aquelas que vão até o infinito. Para resolver, vamos usar o teste de comparação e as regras de integração de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se ela resulta em um número finito quando calculamos o limite. Já é divergente se o resultado é infinito ou não existe. No nosso caso, estamos integrando de 1 até infinito, então precisamos ver se o resultado vai chegar a um número limitado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. Para integrar uma função da forma
, usamos a regra:
No nosso caso,
, então a integral fica:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 ao infinito. Isso significa que vamos calcular:
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Isso porque, conforme
cresce,
fica bem grande e
fica bem pequeno, aproximando-se de zero.
Passo 6
Agora, substituímos esse limite na expressão original:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.