Verifique se as funções propostas são soluções das EDO’s apresentadas.
d xd t+x^2=0
Possíveis soluções: x1(t)=t^-1, x2(t)=ln t^2
Note que
d x1d t=-1t^2=-(1t)^2=-x1^2 Rightarrow d x1d t+x1=0
O função x2 não é solução.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
x1(t)=t^-1 e x2(t)=ln t^2
são soluções da EDO de primeira ordem
dxdt + x^2 = 0
O que vamos fazer é calcular dxidt, computar l(xi(t)r)^2 e ver se
dxidt + l(xi(t)r)^2 = 0
vale identicamente em cada caso.

Passo 2

Para x1(t)=t^-1:
– Derivada:
d x1dt = ddtl(t^-1r) = -,t^-2
– Quadrado:
l(x1(t)r)^2 = l(t^-1r)^2 = t^-2
Substituindo na EDO:
dx1dt + l(x1(t)r)^2 = -,t^-2 + t^-2 = 0,
logo x1 satisfaz a equação e é solução.

Passo 3

Para x2(t)=ln t^2:
– Derivada (regra da cadeia e logaritmo):
d x2dt = ddtl(ln t^2r) = 1t^2cdot 2t = 2t
– Quadrado:
l(x2(t)r)^2 = l(ln t^2r)^2
Substituindo na EDO:
dx2dt + l(x2(t)r)^2 = 2t + l(ln t^2r)^2
Essa expressão não é identicamente zero para todo t, então x2 não é solução.

Resposta

x1(t)=t^-1 é solução da EDO e x2(t)=ln t^2 não é solução.

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