Verifique se as funções propostas são soluções das EDO’s apresentadas.
y^prime prime-y=x
Possíveis soluções: y1(x)=a x+e^-x, y2(x)=k(x+e^-x) íçõ
Note que
y1^prime(x)=a+-e^-x e y1^prime prime(x)=e^-x
Adicionando e subtraindo o termo a x obtemos
y1^prime prime(x)=-a x+underbracea x+e^-xy1 Rightarrow y1^prime prime(x)-y1(x)=-a x
Portanto y1 é solução apenas se a=-1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os candidatos
y1(x)=a,x+e^-x, y2(x)=kl(x+e^-xr)
são soluções da EDO
y''-y=x
Para isso, vamos calcular as derivadas de cada um, substituir na equação e extrair a condição sobre a ou k.

Passo 2

Analisando y1(x)=a,x+e^-x:
y1'(x)=a - e^-x,
y1''(x)=e^-x
Substituindo em y''-y=x:
y1''-y1=e^-x - l(a,x+e^-xr)=-a,x
Para que isso seja igual a x para todo x, precisamos de
-a,x = xLongrightarrow a=-1

Passo 3

Analisando y2(x)=kl(x+e^-xr):
y2'(x)=kl(1 - e^-xr),
y2''(x)=k,e^-x
Substituindo em y''-y=x:
y2''-y2=k,e^-x - kl(x+e^-xr)=-k,x
Para que isso seja igual a x para todo x, precisamos de
-k,x = xLongrightarrow k=-1

Resposta

y1 resolve a EDO se, e somente se, a=-1.
y2 resolve a EDO se, e somente se, k=-1.

Exercícios relacionados