Seja g(x)=log a x a função logarítmica obtida pela relação g(x)=log a x se e somente se a^y=x
a) Determinar o domínio, conjunto Imagem e gráficos de g(x) para os casos:
i) 0<a<1
ii) a>1
b) Traçar o gráfico de g(x)=log e x=ln x (logarítmo natural)
c) Determine as propriedades da função logaritmica:
i) log a(x+y)
ii) log a(x-y)
iii) Fórmula da mudança de base de a para b

Passo 1

Estamos estudando a função logarítmica definida por
g(x)=logaxcom a>0,;aneq1,
e vamos determinar em (a) seu domínio, imagem e comportamento gráfico nos dois casos 0<a<1 e a>1, em (b) traçar o caso particular g(x)=ln x e em (c) apresentar as fórmulas algébricas fundamentais (produto, quociente e mudança de base).

Passo 2

O domínio de g é o conjunto de todos os x>0, pois só nestes pontos o logaritmo está definido; ou seja,
Dom(g)=(0,infty)
Como g assume valores reais arbitrariamente grandes ou pequenos (dependendo de xto0^+ ou xtoinfty), a imagem é
Im(g)=R

Passo 3

O comportamento e a forma do gráfico variam conforme a base a:
Para a>1: a função é estritamente crescente, passa por (1,0), tem assíntota vertical em x=0, e
limxto0^+g(x)=-infty, limxtoinftyg(x)=+infty
Para 0<a<1: a função é estritamente decrescente, também passa por (1,0), tem assíntota vertical em x=0, e
limxto0^+g(x)=+infty, limxtoinftyg(x)=-infty

Passo 4

No caso especial a=e, g(x)=ln x é exatamente o caso a>1 com a=e. Logo o gráfico de ln x é estritamente crescente, cruza o eixo em (1,0), apresenta assíntota vertical em x=0 e satisfaz
limxto0^+ln x=-infty, limxtoinftyln x=+infty

Passo 5

As propriedades algébricas fundamentais da função logarítmica são, para x>0 e y>0:
i) produto dentro do logaritmo
loga(xy)=logax+logay
ii) quociente dentro do logaritmo
logal(x/yr)=logax-logay
iii) mudança de base de a para b>0,;bneq1
logax=logbxlogba

Resposta

a)
Domínio (0,infty), imagem R.
Para 0<a<1, g é decrescente, assíntota em x=0, passa por (1,0),
limxto0^+g(x)=+infty, limxtoinftyg(x)=-infty.
Para a>1, g é crescente, assíntota em x=0, passa por (1,0),
limxto0^+g(x)=-infty, limxtoinftyg(x)=+infty.
b)
O gráfico de ln x é crescente, com assíntota vertical x=0, cruza o eixo em (1,0) e tende a -infty quando xto0^+ e a +infty quando xtoinfty.
c)
i) loga(xy)=logax+logay
ii) logal(x/yr)=logax-logay
iii) logax=logbxlogba

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