Seja
a função logarítmica obtida pela relação
se e somente se
a) Determinar o domínio, conjunto Imagem e gráficos de
para os casos:
i)
ii)
b) Traçar o gráfico de
(logarítmo natural)
c) Determine as propriedades da função logaritmica:
i)
ii)
iii) Fórmula da mudança de base de
para
a) Determinar o domínio, conjunto Imagem e gráficos de
i)
ii)
b) Traçar o gráfico de
c) Determine as propriedades da função logaritmica:
i)
ii)
iii) Fórmula da mudança de base de
Passo 1
Estamos estudando a função logarítmica definida por
e vamos determinar em (a) seu domínio, imagem e comportamento gráfico nos dois casos
e
, em (b) traçar o caso particular
e em (c) apresentar as fórmulas algébricas fundamentais (produto, quociente e mudança de base).
Passo 2
O domínio de
é o conjunto de todos os
, pois só nestes pontos o logaritmo está definido; ou seja,
Como
assume valores reais arbitrariamente grandes ou pequenos (dependendo de
ou
), a imagem é
Passo 3
O comportamento e a forma do gráfico variam conforme a base
:
Para : a função é estritamente crescente, passa por
, tem assíntota vertical em
, e
Para
Para
: a função é estritamente decrescente, também passa por
, tem assíntota vertical em
, e
Passo 4
No caso especial
,
é exatamente o caso
com
. Logo o gráfico de
é estritamente crescente, cruza o eixo em
, apresenta assíntota vertical em
e satisfaz
Passo 5
As propriedades algébricas fundamentais da função logarítmica são, para
e
:
i) produto dentro do logaritmo
ii) quociente dentro do logaritmo
iii) mudança de base de para
i) produto dentro do logaritmo
ii) quociente dentro do logaritmo
iii) mudança de base de
Resposta
a)
Domínio , imagem
.
Para ,
é decrescente, assíntota em
, passa por
,
,
.
Para ,
é crescente, assíntota em
, passa por
,
,
.
Domínio
Para
Para
b)
O gráfico de é crescente, com assíntota vertical
, cruza o eixo em
e tende a
quando
e a
quando
.
O gráfico de
c)
i)
ii)
iii)
i)
ii)
iii)