Determine, em cada item, a área da região limitada:
Por y=x^3-x,-1 <= x <= 1, y=0
R: 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a área da região delimitada pela curva y = x^3 - x , no intervalo -1 <= x <= 1 , e pela reta y = 0 . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a curva y = x^3 - x intercepta a reta y = 0 . Isso acontece quando x^3 - x = 0 . Vamos resolver essa equação:
x^3 - x = 0 x(x^2 - 1) = 0 x = 0 ou x^2 - 1 = 0 x = 0, x = 1, x = -1
Então, a curva corta o eixo x nos pontos x = -1 , x = 0 e x = 1 .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a área que queremos calcular. Entre x = -1 e x = 0 , a curva está abaixo do eixo x , e entre x = 0 e x = 1 , ela está acima. Para encontrar a área total, vamos calcular a integral da função no intervalo e considerar o valor absoluto para garantir que a área seja positiva.

Passo 4

A fórmula geral para a área A entre duas curvas no intervalo a a b é:
A = integrala^b |f(x)| , dx
No nosso caso, f(x) = x^3 - x , a = -1 e b = 1 . Então, a área será:
A = integral-1^1 |x^3 - x| , dx

Passo 5

Para facilitar, vamos dividir a integral em duas partes onde a função muda de sinal:
  1. De x = -1 a x = 0 , x^3 - x <= 0 , então |x^3 - x| = -(x^3 - x) = -x^3 + x .
  2. De x = 0 a x = 1 , x^3 - x >= 0 , então |x^3 - x| = x^3 - x .
Então, a área fica:
A = integral-1^0 (-x^3 + x) , dx + integral0^1 (x^3 - x) , dx

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral-1^0 (-x^3 + x) , dx = [ -x^44 + x^22 ]-1^0
Calculando em x = 0 :
-0^44 + 0^22 = 0
Calculando em x = -1 :
-(-1)^44 + (-1)^22 = -14 + 12 = 14
Então, a primeira integral vale 0 - 14 = -14 , mas como estamos lidando com áreas, consideramos o valor absoluto: 14 .
Segunda integral:
integral0^1 (x^3 - x) , dx = [ x^44 - x^22 ]0^1
Calculando em x = 1 :
1^44 - 1^22 = 14 - 12 = -14
Calculando em x = 0 :
0^44 - 0^22 = 0
Então, a segunda integral vale -14 - 0 = -14 , e novamente consideramos o valor absoluto: 14 .

Passo 7

Finalmente, somamos as duas áreas:
A = 14 + 14 = 24 = 12

Resposta

A área da região limitada é 12 .

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