Determine, em cada item, a área da região limitada:
Por
R: 1/2
Por
R: 1/2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a área da região delimitada pela curva
, no intervalo
, e pela reta
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a curva
intercepta a reta
. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação:
Então, a curva corta o eixo
nos pontos
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a área que queremos calcular. Entre
e
, a curva está abaixo do eixo
, e entre
e
, ela está acima. Para encontrar a área total, vamos calcular a integral da função no intervalo e considerar o valor absoluto para garantir que a área seja positiva.
Passo 4
A fórmula geral para a área
entre duas curvas no intervalo
a
é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a área será:
Passo 5
Para facilitar, vamos dividir a integral em duas partes onde a função muda de sinal:
- De
a , , então . - De
a , , então .
Então, a área fica:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então, a primeira integral vale
, mas como estamos lidando com áreas, consideramos o valor absoluto:
.
Segunda integral:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então, a segunda integral vale
, e novamente consideramos o valor absoluto:
.
Passo 7
Finalmente, somamos as duas áreas:
Resposta
A área da região limitada é
.