V ou F:
( ) Sejam
uma função contínua em
e
uma primitiva de
em
. Então:
( ) Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função contínua $ f $ no intervalo
e $ F $ que é uma primitiva de $ f $ nesse mesmo intervalo. A gente vai precisar entender conceitos de cálculo como integrais, primitivas e limites, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo, pra resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função $ f $ é contínua em
se não tem “quebras” ou “saltos” no gráfico dentro desse intervalo. Isso é importante porque a continuidade garante que a integral definida exista e que possamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a primitiva. Uma primitiva $ F $ de uma função $ f $ é outra função que, quando derivada, dá $ f $. Ou seja, $ F’(x) = f(x) $. Isso é essencial porque o Teorema Fundamental do Cálculo conecta a primitiva com a integral definida.
Passo 4
Vamos entender a soma de Riemann. Imagine que a gente divide o intervalo
em vários subintervalos pequenos, cada um com largura
. Em cada subintervalo, a gente avalia a função $ f $ em algum ponto $ x_i $ e multiplica pela largura
. Somando tudo isso, a gente aproxima a área sob a curva de $ f $. O limite dessa soma quando as larguras dos subintervalos tendem a zero é justamente a integral definida de $ f $ de $ a $ a $ b $:
Passo 5
Agora entra o Teorema Fundamental do Cálculo, que tem duas partes. A parte que nos interessa diz que se $ F $ é uma primitiva de $ f $, então:
Ou seja, a integral definida de $ f $ de $ a $ a $ b $ é igual à diferença dos valores da primitiva $ F $ nos pontos $ b $ e $ a $.
Passo 6
Juntando tudo, a expressão do enunciado está afirmando que o limite da soma de Riemann é igual à integral definida de $ f $, que por sua vez é igual a $ F(b) - F(a) $. Como mostramos que todas essas partes são verdadeiras e conectadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a afirmação está correta.
Resposta
Verdadeiro.