Qual o valor exato da área da região limitada pelo gráfico de
, pelas retas
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a área da região que está limitada pelo gráfico da função
e pelas retas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar como essa área se parece. A função
é uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes. As retas
e
são linhas verticais que vão interceptar a hipérbole nesses pontos. A reta
é o eixo x, que serve como limite inferior da área que queremos calcular.
Passo 3
Agora, para encontrar a área entre essas curvas e retas, vamos usar uma integral definida. A integral definida nos permite calcular a área total entre a função e o eixo x, entre dois limites específicos de
. A fórmula geral para a área
é:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
A antiderivada de
é
. Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Resposta
A área da região limitada é exatamente
.