Qual o valor exato da área da região limitada pelo gráfico de y=1 / x, pelas retas y=0, x=1 e x=3?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a área da região que está limitada pelo gráfico da função y = 1x e pelas retas y = 0 , x = 1 e x = 3 . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar como essa área se parece. A função y = 1x é uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes. As retas x = 1 e x = 3 são linhas verticais que vão interceptar a hipérbole nesses pontos. A reta y = 0 é o eixo x, que serve como limite inferior da área que queremos calcular.

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre essas curvas e retas, vamos usar uma integral definida. A integral definida nos permite calcular a área total entre a função e o eixo x, entre dois limites específicos de x . A fórmula geral para a área A é:
A = integrala^b f(x) , dx
No nosso caso, f(x) = 1x , a = 1 e b = 3 .

Passo 4

Vamos calcular a integral:
A = integral1^3 1x , dx
A antiderivada de 1x é ln|x| . Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
A = [ ln|x| ]1^3 = ln(3) - ln(1)
Sabemos que ln(1) = 0 , então simplificamos para:
A = ln(3)

Resposta

A área da região limitada é exatamente ln(3) .

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