Determine, em cada item, a área da região limitada:
Por y=x^3-x, x in[0,2], y=0
R: 5/2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y = x^3 - x, pelas retas verticais x=0 e x=2 e pelo eixo y=0. Este é um problema de cálculo de área por integrais, em que vamos integrar a função em valor absoluto para contabilizar partes abaixo do eixo.

Passo 2

Encontramos as interseções de y = x^3-x com y=0 resolvendo
x^3-x = 0
x(x^2-1)=0
Logo, x=0, x=1 e x=-1. No intervalo [0,2] só interessam x=0 e x=1.

Passo 3

Determinar o sinal de f(x)=x^3-x em cada subintervalo:
Para 0<x<1 temos x^3<x, logo f(x)<0.
Para 1<x<2 temos x^3>x, logo f(x)>0.
Assim, a área é
Área =integral0^1l[-(x^3-x)r],dx +integral1^2(x^3-x),dx Á

Passo 4

Calculamos uma primitiva de x^3-x. Seja
F(x)=x^44-x^22
Então
integral0^1l[-(x^3-x)r],dx =-l[F(1)-F(0)r],
integral1^2(x^3-x),dx =F(2)-F(1)

Passo 5

Avaliação:
F(1)=tfrac14-tfrac12=-tfrac14,
F(0)=0,
F(2)=tfrac164-tfrac42=4-2=2.
Logo
integral0^1l[-(x^3-x)r],dx =-l(-tfrac14-0r) =tfrac14,
integral1^2(x^3-x),dx =2-(-tfrac14) =2+tfrac14 =tfrac94
Somando as duas áreas obtemos
Área=tfrac14+tfrac94=tfrac104=tfrac52 Á

Resposta

A área da região é tfrac52.

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