A função C(x)=integral0^x cos (pi t^22) d t foi usada pelo físico francês Fresnel em sua teoria da difração das ondas. Determine:
Em quais intervalos C é côncava para cima;

Passo 1

O enunciado dá a função
C(x)=integral0^xcos!l(tfracpi t^22r),dt
e pede os intervalos em que C é côncava para cima. Este é um problema de cálculo de derivadas e análise de concavidade, em que usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e o critério de concavidade pela segunda derivada.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada primeira é
C'(x)=cos!l(tfracpi x^22r)
Aplicando a regra da cadeia para obter a segunda derivada, temos
C''(x) =ddxl[cos!l(tfracpi x^22r)r] =-sin!l(tfracpi x^22r),ddx!l(tfracpi x^22r) =-pi x,sin!l(tfracpi x^22r)

Passo 3

A função é côncava para cima quando
C''(x)>0 ;Long<=ftrightarrow; -pi x,sin!l(tfracpi x^22r)>0 ;Long<=ftrightarrow; pi x,sin!l(tfracpi x^22r)<0
Como pi>0, isso equivale a
x;sin!l(tfracpi x^22r)<0

Passo 4

Para resolver xsin(tfracpi x^22)<0 analisamos dois casos:
  1. x>0: então precisamos de sin(tfracpi x^22)<0. A função sintheta é negativa para
    thetainl((2n+1)pi,,(2n+2)pir), n=0,1,2,dots
    ou seja
    pi x^22inl((2n+1)pi,,(2n+2)pir) ;Longrightarrow; x^2inl(4n+2,,4n+4r) ;Longrightarrow; xinl(raiz4n+2,,raiz4n+4r)
  2. x<0: então precisamos de sin(tfracpi x^22)>0. A função sintheta é positiva para
    thetainl(2npi,,(2n+1)pir), n=0,1,2,dots
    ou seja
    pi x^22inl(2npi,,(2n+1)pir) ;Longrightarrow; x^2inl(4n,,4n+2r) ;Longrightarrow; xinl(-raiz4n+2,,-raiz4nr) =l(-raiz4n+2,,-2raiznr)

Resposta

A função C é côncava para cima nos intervalos
cupn=0^inftyl(raiz4n+2,,raiz4n+4r) e cupn=0^inftyl(-raiz4n+2,,-2raiznr)

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