A função
foi usada pelo físico francês Fresnel em sua teoria da difração das ondas. Determine:
Em quais intervalos
é côncava para cima;
Em quais intervalos
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os intervalos em que
é côncava para cima. Este é um problema de cálculo de derivadas e análise de concavidade, em que usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e o critério de concavidade pela segunda derivada.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada primeira é
Aplicando a regra da cadeia para obter a segunda derivada, temos
Passo 3
A função é côncava para cima quando
Como
, isso equivale a
Passo 4
Para resolver
analisamos dois casos:
-
: então precisamos de . A função é negativa para ou seja -
: então precisamos de . A função é positiva para ou seja
Resposta
A função
é côncava para cima nos intervalos