Use a transformada de Laplace para resolver as equações diferenciais dadas.
l y^prime prime-6 y^prime+13 y=0, y(0) =0, y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''-6y'+13y=0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=-3, usando transformada de Laplace. Vamos transformar cada termo em função de Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace aos termos envolvendo y:
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)+3,
Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s),
Ly=Y(s)

Passo 3

Substituindo na EDO transformada:
l(s^2Y(s)+3r)-6l(sY(s)r)+13Y(s)=0
e agrupando em Y(s):

Passo 4

(s^2-6s+13),Y(s)+3=0 Longrightarrow Y(s)=-3s^2-6s+13

Passo 5

Completa o quadrado no denominador:
s^2-6s+13=(s-3)^2+4
Assim
Y(s)=-3;1(s-3)^2+2^2 =-32;2(s-3)^2+2^2

Passo 6

Reconhecendo a transformada Le^3tsin(2t)=2(s-3)^2+2^2, obtemos
y(t)=-32,e^3tsin(2t)

Resposta

y(t)=-32,e^3tsin(2t)

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