Determine em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
f(x, y, z)=x^{2}+2 x z+2 z^{2}+(1-y)^{2}+2 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função de três variáveis
f(x,y,z)=x^{2}+2xz+2z^{2}+(1-y)^{2}+2y.
O conteúdo necessário é cálculo de pontos críticos em funções de várias variáveis, que consiste em igualar o gradiente a zero.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais para montar o gradiente:
\frac{\partial f}{\partial x} =2x+2z, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =2(y-1)+2=2y, \quad \frac{\partial f}{\partial z} =2x+4z.

Passo 3

Igualar cada derivada parcial a zero e resolver o sistema:
\begin{cases} 2x+2z=0,\\\\ 2y=0,\\\\ 2x+4z=0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=0\). Das outras duas, dividindo por 2: \[\begin{cases} x+z=0,\\\ x+2z=0. \end{cases}
Subtraindo as equações, obtemos z=0\] e, em seguida, \(x=0.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0,0).

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