\int e^{8 x} \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{8x}\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de produto de exponencial com função trigonométrica. Vamos tentar usar integração por partes e ver se surge uma primitiva elementar.

Passo 2

Escolhemos em integração por partes
u = e^{8x},\quad dv = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Então
du = 8\,e^{8x}\,dx,\quad v = \tan x,
e pela fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
obtemos
\int e^{8x}\operatorname{sec}^{2}x\,dx = e^{8x}\tan x \;-\; 8\int e^{8x}\tan x\,dx.

Passo 3

Definamos
I = \int e^{8x}\operatorname{sec}^{2}x\,dx \quad\text{e}\quad J = \int e^{8x}\tan x\,dx.
A relação obtida em

Passo 4

I = e^{8x}\tan x - 8J.
Agora aplicamos partes em J escolhendo u=\tan x, dv=e^{8x}dx. Isso dá
J = \frac{e^{8x}\tan x}{8} \;-\;\frac{1}{8}\int e^{8x}\operatorname{sec}^{2}x\,dx =\frac{e^{8x}\tan x}{8} - \frac{I}{8}.
Isso gera um sistema cíclico entre I e J que não se resolve em termos de funções elementares.

Passo 5

Concluímos que não existe primitiva elementar para \int e^{8x}\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Uma expressão fechada envolve a função exponencial integral \operatorname{Ei}. Uma forma compacta é
\int e^{8x}\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \frac{i\,e^{8x}}{2}\Bigl[\operatorname{Ei}\bigl((8-2i)x\bigr)\;-\;\operatorname{Ei}\bigl((8+2i)x\bigr)\Bigr] + C,
onde i^2=-1 e
\displaystyle \operatorname{Ei}(z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{e^{t}}{t}\,dt.

Resposta

\int e^{8x}\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \frac{i\,e^{8x}}{2}\Bigl[\operatorname{Ei}\bigl((8-2i)x\bigr)\;-\;\operatorname{Ei}\bigl((8+2i)x\bigr)\Bigr] + C.

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