Determine em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
f(x, y)=-2 x^{2} y+2 x^{2}-y^{4}+4 y

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função de duas variáveis
f(x,y) = -2x^2y + 2x^2 - y^4 + 4y.
Isso envolve calcular as derivadas parciais, igualá-las a zero e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x^2y + 2x^2 - y^4 + 4y\bigr) = -4xy + 4x = 4x\,(1 - y).

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x^2y + 2x^2 - y^4 + 4y\bigr) = -2x^2 - 4y^3 + 4.

Passo 4

Igualar as parciais a zero para obter o sistema
\begin{cases} 4x\,(1 - y)=0,\\\\ -2x^2 -4y^3 +4=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0 ou y=1.

Passo 5

Analisar cada caso:
  1. Se x=0, a segunda equação fica
    -2\cdot 0^2 -4y^3 +4=0 \;\Longrightarrow\; -4y^3 +4=0 \;\Longrightarrow\; y^3=1 \;\Longrightarrow\; y=1.
  2. Se y=1, a segunda equação fica
    -2x^2 -4\cdot1^3 +4=0 \;\Longrightarrow\; -2x^2 =0 \;\Longrightarrow\; x=0.
Em ambos os casos obtemos o mesmo ponto (0,1).

Resposta

O único ponto crítico de f é \,(0,1).

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