(
pts) Considere o campo vetorial
.
(a) Faça um esboço do campo
.
(b) Calcule
, onde
é o segmento de reta de ( 0,1 ) a ( 1,3 ).
(a) Faça um esboço do campo
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede:
. Esboçar qualitativamente esse campo no plano.
. Calcular a integral de linha
em que
é o segmento de reta de
a
.
Para isso, vamos ver como montar um esboço usando vetores em pontos-chave e depois parametrizar , calcular
, tomar o produto escalar com
e integrar.
Para isso, vamos ver como montar um esboço usando vetores em pontos-chave e depois parametrizar
Passo 2
Para esboçar o campo, observe alguns vetores em pontos típicos:
Em , qualquer
, temos
Em
ou seja, a origem de vetores ao longo do eixo
.
Em :
aponta para cima;
aponta em
;
aponta mais para a direita;
fica quase horizontal.
Em :
também a
mas maior.
Para , ambos componentes mudam de sinal e o vetor inverte de direção.
Assim, o campo “nasce” nulo em e, para
, cresce em
com
e em
proporcional a
, formando setas inclinadas para nordeste, cada vez maiores conforme
e
aumentam.
Em
Em
Para
Assim, o campo “nasce” nulo em
Passo 3
Parametrizamos o segmento
unindo
a
. Seja
Então
Passo 4
Substituindo em
:
O produto escalar com
é
Expandindo
, obtemos o integrando
Passo 5
Agora integramos de
a
:
Resposta
(a) Esboço qualitativo: o campo é nulo em
e, para
, produz vetores apontando para nordeste, com componente horizontal crescendo como
e vertical como
. Para
, os vetores invertem o sentido.
(b)
(b)