( \mathbf{2} pts) Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=x y^{2} \vec{i}+x \vec{j}.
(a) Faça um esboço do campo \vec{F}(x, y).
(b) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é o segmento de reta de ( 0,1 ) a ( 1,3 ).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec F(x,y)=x\,y^{2}\,\vec i + x\,\vec j
e pede:
1. Esboçar qualitativamente esse campo no plano.
2. Calcular a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
em que C é o segmento de reta de (0,1) a (1,3).
Para isso, vamos ver como montar um esboço usando vetores em pontos-chave e depois parametrizar C, calcular \vec F(r(t)), tomar o produto escalar com d\vec r e integrar.

Passo 2

Para esboçar o campo, observe alguns vetores em pontos típicos:
Em x=0, qualquer y, temos
\vec F(0,y) = (0\cdot y^{2},\,0) = (0,0),
ou seja, a origem de vetores ao longo do eixo y.
Em x=1:
\vec F(1,0)=(0,1) aponta para cima;
\vec F(1,1)=(1,1) aponta em 45\circ;
\vec F(1,2)=(4,1) aponta mais para a direita;
\vec F(1,3)=(9,1) fica quase horizontal.
Em x=2,y=1:
\vec F(2,1)=(2,2) também a 45\circ mas maior.
Para x<0, ambos componentes mudam de sinal e o vetor inverte de direção.
Assim, o campo “nasce” nulo em x=0 e, para x>0, cresce em i com y^{2} e em j proporcional a x, formando setas inclinadas para nordeste, cada vez maiores conforme x e y aumentam.

Passo 3

Parametrizamos o segmento C unindo (0,1) a (1,3). Seja
\vec{r}(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(t,\;1+2t\bigr), \quad t \in [0,1].
Então
d\vec{r} = (x'(t),y'(t))\,dt = (1,2)\,dt.

Passo 4

Substituindo em \vec F:
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) = \bigl(t\cdot(1+2t)^{2},\;t\bigr).
O produto escalar com d\vec r é
\vec F(\vec r(t))\cdot d\vec r = \bigl(t(1+2t)^{2}\bigr)\cdot1 \;+\; t\cdot2 = t\,(1+2t)^{2} \;+\; 2t.
Expandindo (1+2t)^{2}=1+4t+4t^{2}, obtemos o integrando
t(1+4t+4t^{2})+2t = t +4t^{2}+4t^{3}+2t = 3t +4t^{2}+4t^{3}.

Passo 5

Agora integramos de t=0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(3t +4t^{2}+4t^{3}\bigr)\,dt = \left[\tfrac{3}{2}t^{2}+\tfrac{4}{3}t^{3}+t^{4}\right]_{0}^{1} = \tfrac{3}{2} + \tfrac{4}{3} + 1 = \tfrac{23}{6}.

Resposta

(a) Esboço qualitativo: o campo é nulo em x=0 e, para x>0, produz vetores apontando para nordeste, com componente horizontal crescendo como x\,y^{2} e vertical como x. Para x<0, os vetores invertem o sentido.
(b) \displaystyle \int_{C}\vec F\cdot d\vec r = \tfrac{23}{6}.

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