Determine em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
f(x, y)=e^{x^{2}+2 x y+2 y^{2}-8 x-10 y}

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos da função
f(x,y)=\exp\bigl(x^{2}+2xy+2y^{2}-8x-10y\bigr).
Como a exponencial nunca é zero, os pontos críticos de f coincidem com os pontos críticos do expoente
g(x,y)=x^{2}+2xy+2y^{2}-8x-10y.
Vamos, portanto, calcular \nabla g e igualar a zero.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial x}=2x+2y-8, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2x+4y-10.
Os pontos críticos satisfazem
2x+2y-8=0, \quad 2x+4y-10=0.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2x+2y=8,\\\\ 2x+4y=10, \end{cases}
podemos dividir a primeira equação por 2\) e a segunda também por \(2\): \[\begin{cases} x+y=4,\\\ x+2y=5. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtemos y=1\] e, em seguida, \(x=3.

Passo 4

Concluímos que existe um único ponto crítico, dado por (x,y)=(3,1).

Resposta

(3,1)

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