Determine em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
f(x, y, z)=z \cos y x

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x,y,z)=z\cos(xy).
Como a função é diferenciável em todo \mathbb{R}^3, os pontos críticos aparecem quando o gradiente de f é zero. Logo, vamos calcular as derivadas parciais e resolver o sistema \nabla f=(0,0,0).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y,z)=z\cos(xy).
A derivada em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x} = z\;\frac{d}{dx}\bigl[\cos(xy)\bigr] = z\bigl(-\sin(xy)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(xy) = -\,y\,z\,\sin(xy).
Em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = z\;\frac{d}{dy}\bigl[\cos(xy)\bigr] = z\bigl(-\sin(xy)\bigr)\cdot\frac{d}{dy}(xy) = -\,x\,z\,\sin(xy).
E em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z} = \cos(xy).

Passo 3

O sistema \nabla f=(0,0,0)\) torna-se \[\begin{cases} -\,y\,z\,\sin(xy)=0,\\\\ -\,x\,z\,\sin(xy)=0,\\\ \cos(xy)=0. \end{cases}
Da terceira equação temos
\cos(xy)=0 \;\Longrightarrow\; xy = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Para esses valores de xy\], tem-se \(\sin(xy)=\pm1\neq0. Então, das duas primeiras equações segue
y\,z=0 \quad\text{e}\quad x\,z=0.

Passo 4

Como \sin(xy)\neq0, obrigatoriamente z=0 (caso contrário teríamos x=y=0 e isso não satisfaz \cos(xy)=0). Portanto os únicos pontos que anulam todas as derivadas são aqueles com
z=0 \quad\text{e}\quad xy = \frac{\pi}{2} + k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.

Resposta

Os pontos críticos de f são todos os (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tais que
z=0 \quad\text{e}\quad xy = \frac{2k+1}{2}\,\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

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