Nos itens abaixo, determine a primeira e a segunda derivada de cada função.
f(x)=3 x^{7}-7 x^{3}+21 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede as primeiras e segundas derivadas da função
f(x)=3x^{7}-7x^{3}+21x^{2}.
Vamos usar a regra do poder, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
e a linearidade da derivada para somas e constantes.

Passo 2

Aplicando a regra do poder termo a termo em f(x), temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{7}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(7x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(21x^{2}\bigr).
Cada derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{7}\bigr)=3\cdot7\,x^{6}=21x^{6},\quad \frac{d}{dx}\bigl(7x^{3}\bigr)=7\cdot3\,x^{2}=21x^{2},\quad \frac{d}{dx}\bigl(21x^{2}\bigr)=21\cdot2\,x=42x.
Logo,
f'(x)=21x^{6}-21x^{2}+42x.

Passo 3

Para a segunda derivada, aplicamos novamente a regra do poder a cada termo de f'(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(21x^{6}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(21x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(42x\bigr).
Calculando:
\frac{d}{dx}\bigl(21x^{6}\bigr)=21\cdot6\,x^{5}=126x^{5},\quad \frac{d}{dx}\bigl(21x^{2}\bigr)=21\cdot2\,x=42x,\quad \frac{d}{dx}\bigl(42x\bigr)=42.
Assim,
f''(x)=126x^{5}-42x+42.

Resposta

f'(x)=21x^{6}-21x^{2}+42x,
f''(x)=126x^{5}-42x+42.

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