Determine em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
f(x, y)=\frac{x+2 y-2}{x-2 y}

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x,y)=\frac{x+2y-2}{x-2y},
cujo domínio é
D=\{(x,y)\mid x-2y\neq0\}.
Para achar pontos críticos de uma função de duas variáveis, calculamos o gradiente \nabla f=(f_x,f_y) e encontramos onde ele é (0,0) ou é indefinido dentro de D.

Passo 2

Defina
u(x,y)=x+2y-2,\quad v(x,y)=x-2y,
de modo que f=u/v. Pelas fórmulas de derivada de quociente, temos
f_x = \frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2},\quad f_y = \frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2}.
Como u_x=1, u_y=2, v_x=1 e v_y=-2, resulta
f_x = \frac{v - u}{v^2},\qquad f_y = \frac{2v +2u}{v^2} = \frac{2(v+u)}{v^2}.

Passo 3

Para ter \nabla f=(0,0) é necessário
f_x=0\implies v - u = 0,
f_y=0\implies v + u = 0.

Passo 4

O sistema
v - u = 0,\quad v + u = 0
implica somando as duas equações 2v=0\Rightarrow v=0 e daí u=0. Mas v=0 significa x-2y=0, ponto que não pertence ao domínio D. Logo não há solução em D.

Resposta

Não existem pontos críticos para f em seu domínio.

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