Determine em cada item a reta tangente da curva dada no ponto t0 :
r(t)=(e^-t, 2+t, 11+e^-t) em t0=-2

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a curva vetorial r(t)=(e^-t,,2+t,,11+e^-t) e quer achar a reta tangente no ponto t0=-2. O conteúdo é derivada de funções vetoriais e como usar o vetor derivada para formar a reta tangente.

Passo 2

Pra começar, vamos lembrar da teoria: a derivada r'(t) de uma curva vetorial dá o vetor tangente a cada ponto. A reta tangente em t0 em forma paramétrica é L(t)=r(t0)+r'(t0),(t-t0).

Passo 3

Agora derivamos cada componente de r(t):
ddte^-t=-e^-t,
ddt(2+t)=1,
ddtl(11+e^-tr)=e^-t(1+e^-t)^-2
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r'(t)=l(-e^-t,,1,,e^-t(1+e^-t)^-2r)

Passo 4

A gente avalia em t0=-2. Note que e^-(-2)=e^2. Então:
r(-2)=l(e^2,,0,,tfrac11+e^2r),
r'(-2)=l(-e^2,,1,,tfrace^2(1+e^2)^2r)

Passo 5

Por fim, montamos a reta tangente usando t como parâmetro:
L(t)=r(-2)+r'(-2),(t+2)
Em coordenadas, isso dá:
x(t)=e^2-e^2(t+2),
y(t)=t+2,
z(t)=tfrac11+e^2+tfrace^2(1+e^2)^2(t+2)

Resposta

A reta tangente à curva em t0=-2 em forma vetorial é
L(t)=l(e^2,,0,,tfrac11+e^2r)+(t+2),l(-e^2,,1,,tfrace^2(1+e^2)^2r)

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