Determine as equações paramétricas. da reta
Que é a interseção entre os planos 2 x+y-z=0 e x+y+z=2.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta interseção dos planos 2x+y-z=0 e x+y+z=2. Estamos na matéria de geometria analítica no espaço, e vamos usar três ideias principais: determinar os vetores normais desses planos, obter o vetor diretor da reta pelo produto vetorial desses normais e encontrar um ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações dos planos.

Passo 2

Cada plano tem um vetor normal dado pelos coeficientes de x, y e z. Para o plano 2x+y-z=0 temos \mathbf{n}_1=(2,1,-1)
e para o plano x+y+z=2 temos \mathbf{n}_2=(1,1,1).

Passo 3

O vetor diretor \mathbf{d} da reta é o produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Calculamos:
\mathbf{d} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2\,\mathbf{i} - 3\,\mathbf{j} + 1\,\mathbf{k},
logo \mathbf{d}=(2,-3,1).

Passo 4

Para achar um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0)\) na interseção, escolhemos \(z_0=0\) e resolvemos o sistema \[\begin{cases} 2x_0 + y_0 = 0,\\\ x_0 + y_0 = 2. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira vem x_0=-2\]. Então \(y_0 = 2 - x_0 = 4. Assim P_0 = (-2,4,0).

Passo 5

Com ponto P_0 e vetor diretor \mathbf{d}, as equações paramétricas ficam, usando parâmetro t:
x = -2 + 2t,\quad y = 4 - 3t,\quad z = 0 + 1t.

Resposta

\begin{cases} x = -2 + 2t,\\\ y = 4 - 3t,\\\ z = t. \end{cases}

Exercícios relacionados