Determine em cada item para quais valores de t in R a curva é contínua:
r(t)=(e^t+e^-t2, e^t-e^t2, e^t-e^-te^t+e^-t)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida pela função vetor r(t) = ( e^t+e^-t2, e^t-e^-t2, e^t-e^-te^t+e^-t ) e queremos saber para quais valores de t essa curva é contínua. Então, vamos precisar usar conceitos de funções contínuas e analisar cada parte dessa função vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” naquele ponto. Para funções vetoriais, isso vale para cada uma das componentes individualmente. Ou seja, se todas as partes que compõem r(t) são contínuas, a curva também será.

Passo 3

Vamos dar uma olhada nas componentes de r(t) :
  1. e^t+e^-t2
  2. e^t-e^-t2
  3. e^t-e^-te^t+e^-t
As duas primeiras componentes são combinações lineares de funções exponenciais. Sabemos que funções exponenciais como e^t e e^-t são contínuas para todo t real, e operações como adição e divisão por constantes mantêm a continuidade. Então, as duas primeiras partes estão de boa para todo t .

Passo 4

Agora, vamos analisar a terceira componente: e^t-e^-te^t+e^-t . Aqui temos uma fração, e para que essa fração seja contínua, o denominador nunca pode ser zero (porque não dá pra dividir por zero, né?).

Passo 5

Vamos verificar se e^t + e^-t pode ser zero. Sabemos que e^t é sempre positivo para qualquer t real, e e^-t também é 1e^t , que também é sempre positivo. Então, a soma e^t + e^-t nunca será zero.

Passo 6

Como o denominador nunca é zero, a terceira componente também é contínua para todo t real. E já que todas as três componentes de r(t) são contínuas em todos os valores de t , concluímos que a curva inteira é contínua para todo t real.

Resposta

A curva r(t) é contínua para todos os valores de t in R .

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