Determine em cada item para quais valores de t in R a curva é contínua:
r(t)=(tan t pi, 1-t pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores de t a curva r(t) = (tan(tpi), 1 - tpi) é contínua. Aqui, estamos trabalhando com continuidade de funções na matemática, especificamente analisando quando cada componente da curva não apresenta “quebras” ou “saltos”. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função tangente se comporta e quando ela está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da curva: tan(tpi) . A função tangente, tan(x) , é contínua em todos os pontos onde está definida, mas ela tem assíntotas verticais onde o cosseno é zero, ou seja, em x = pi2 + kpi , onde k é um número inteiro. Isso significa que tan(tpi) não está definida nesses pontos específicos de t .

Passo 3

Vamos encontrar os valores de t que fazem com que tpi = pi2 + kpi . Para isso, resolvemos a equação:
tpi = pi2 + kpi
Dividindo ambos os lados por pi (e lembrando que pi neq 0 ):
t = 12 + k
Então, a função tan(tpi) não está definida para t = 12 + k , onde k é qualquer número inteiro.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte da curva: 1 - tpi . Essa é uma função linear, e sabemos que funções lineares são contínuas para todos os valores de t em R . Ou seja, não temos problemas de continuidade com essa parte da curva.

Passo 5

Como a curva r(t) é composta por duas partes, tan(tpi) e 1 - tpi , a continuidade da curva inteira depende da continuidade de ambas as partes. Já vimos que tan(tpi) não é contínua para t = 12 + k , mas 1 - tpi é sempre contínua.

Resposta

Portanto, a curva r(t) = (tan(tpi), 1 - tpi) é contínua para todos os valores de t in R exceto quando t = 12 + k , onde k é qualquer número inteiro.

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