Determine em cada item para quais valores de t in R a curva é contínua:
r(t)=(t-1t, t+1t-1, tt+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir para quais valores de t in R a curva definida por r(t)=(t-1t, t+1t-1, tt+1) é contínua. Vamos precisar entender o que é continuidade em funções e como identificar onde a função pode ter problemas, como divisões por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva r(t) é contínua em um ponto t se todas as suas componentes são contínuas nesse ponto. No nosso caso, temos três componentes:
  1. x(t) = t-1t
  2. y(t) = t+1t-1
  3. z(t) = tt+1
Cada uma dessas frações deve ser contínua, ou seja, os denominadores não podem ser zero, porque dividir por zero não é permitido na matemática.

Passo 3

Vamos analisar cada componente separadamente para encontrar os valores de t que fazem os denominadores iguais a zero:
  1. Para x(t) = t-1t :
    • O denominador é t . Então, t neq 0 .
  2. Para y(t) = t+1t-1 :
    • O denominador é t-1 . Então, t-1 neq 0 Rightarrow t neq 1 .
  3. Para z(t) = tt+1 :
    • O denominador é t+1 . Então, t+1 neq 0 Rightarrow t neq -1 .

Passo 4

Agora, juntando todas essas restrições, a curva r(t) será contínua para todos os valores de t que não fazem nenhum denominador ser zero. Portanto, devemos excluir t = -1 , t = 0 e t = 1 .

Resposta

A curva r(t) é contínua para todos os valores de t em R exceto t = -1 , t = 0 e t = 1 . Ou seja, r(t) é contínua para t in R setminus -1, 0, 1 .

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