1. sumk=1^infty cos (k pi)2^k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
sumk=1^infty cos(kpi)2^k
O conteúdo envolvido é o reconhecimento de uma série geométrica e a utilização da identidade cos(kpi)=(-1)^k.

Passo 2

Usamos a identidade cos(kpi)=(-1)^k. Logo a série vira
sumk=1^infty cos(kpi)2^k =sumk=1^infty (-1)^k2^k =sumk=1^inftyl(-tfrac12r)^k

Passo 3

Reconhecemos agora uma série geométrica de primeiro termo
a1 = l(-tfrac12r)^1 = -tfrac12
e razão
r = -tfrac12,
cujo módulo satisfaz |r|<1, portanto converge.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
sumk=1^infty a1,r^,k-1 =a11-r
Aqui nosso primeiro termo é a1=-tfrac12 e a razão é r=-tfrac12, então
sumk=1^inftyl(-tfrac12r)^k =-tfrac121-(-tfrac12) =-tfrac121+tfrac12 =-tfrac12tfrac32 =-tfrac13

Resposta

-tfrac13

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