Determine em cada item para quais valores de t in R a curva é contínua:
r(t)=(e^2 t, 1-2 t,(2 t)^e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de t in R a curva r(t) = (e^2 t, 1-2 t, (2 t)^e) é contínua. Isso envolve entender o que é continuidade em curvas paramétricas e analisar cada componente da curva. Vamos precisar saber sobre funções exponenciais, funções lineares e potência com expoentes reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva ser contínua. Uma curva paramétrica é contínua se todas as suas componentes são funções contínuas no intervalo considerado. Então, vamos analisar cada componente de r(t) individualmente.

Passo 3

A primeira componente é e^2t . A função exponencial e^x é contínua para todo número real x . Como 2t também é contínuo para todo t , a composição e^2t mantém a continuidade para todos os t in R .

Passo 4

A segunda componente é 1 - 2t . Essa é uma função linear, e funções lineares são contínuas em todo o seu domínio, que nesse caso é todos os números reais t in R . Então, 1 - 2t é contínua para qualquer t .

Passo 5

A terceira componente é (2t)^e . Aqui precisamos ter cuidado. A função x^e é contínua para x > 0 porque potências com expoentes reais geralmente requerem que a base seja positiva para serem definidas no conjunto dos números reais. Então, para (2t)^e ser contínua, precisamos que 2t > 0 .

Passo 6

Vamos resolver 2t > 0 :
2t > 0
t > 0
Isso significa que a terceira componente (2t)^e é contínua somente quando t é maior que zero.

Passo 7

Como a curva r(t) é a combinação das três componentes, e a continuidade dela depende da continuidade de todas as partes, precisamos que todas as três componentes sejam contínuas ao mesmo tempo. As duas primeiras componentes são contínuas para todo t , mas a terceira só é contínua para t > 0 .

Resposta

A curva r(t) = (e^2 t, 1-2 t, (2 t)^e) é contínua para todos os valores de t tais que t > 0 .

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