Determine em cada item para quais valores de
a curva é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de
a curva
é contínua. Isso envolve entender o que é continuidade em curvas paramétricas e analisar cada componente da curva. Vamos precisar saber sobre funções exponenciais, funções lineares e potência com expoentes reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva ser contínua. Uma curva paramétrica é contínua se todas as suas componentes são funções contínuas no intervalo considerado. Então, vamos analisar cada componente de
individualmente.
Passo 3
A primeira componente é
. A função exponencial
é contínua para todo número real
. Como
também é contínuo para todo
, a composição
mantém a continuidade para todos os
.
Passo 4
A segunda componente é
. Essa é uma função linear, e funções lineares são contínuas em todo o seu domínio, que nesse caso é todos os números reais
. Então,
é contínua para qualquer
.
Passo 5
A terceira componente é
. Aqui precisamos ter cuidado. A função
é contínua para
porque potências com expoentes reais geralmente requerem que a base seja positiva para serem definidas no conjunto dos números reais. Então, para
ser contínua, precisamos que
.
Passo 6
Vamos resolver
:
Isso significa que a terceira componente
é contínua somente quando
é maior que zero.
Passo 7
Como a curva
é a combinação das três componentes, e a continuidade dela depende da continuidade de todas as partes, precisamos que todas as três componentes sejam contínuas ao mesmo tempo. As duas primeiras componentes são contínuas para todo
, mas a terceira só é contínua para
.
Resposta
A curva
é contínua para todos os valores de
tais que
.