Determine em cada item a velocidade e aceleração da curva dada em cada ponto do domínio:
r(t)=(e^2 t, 1-2 t,(2 t)^e)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a velocidade e a aceleração da curva
r(t)=l(e^2t,,1-2t,,(2t)^er)
Isso é um exercício de derivadas de funções vetoriais. A gente vai usar:
• Regra de derivada de exponencial: ddte^2t=2e^2t.
• Regra do polinômio (potência): ddtt^n=n,t^n-1.
• Regra da cadeia, quando a função interna não é só t.

Passo 2

Para achar a velocidade vec v(t)=r'(t), derivamos cada componente de r(t):
  1. Componente x:
ddtl(e^2tr)=2,e^2t
  1. Componente y:
ddt(1-2t)=-2
  1. Componente z:
ddtl((2t)^er) =underbracee,(2t)^,e-1potência times underbrace2derivada de 2t =2e,(2t)^,e-1 ê
Logo,
vec v(t)=l(2e^2t,,-2,,2e(2t)^e-1r)

Passo 3

Agora, a aceleração vec a(t)=r''(t)=vec v,'(t). Derivando cada componente de vec v(t):
  1. Componente x:
    ddtl(2e^2tr)=4e^2t
  2. Componente y:
    ddt(-2)=0
  3. Componente z:
ddtl(2e,(2t)^e-1r) =2e times l((e-1)(2t)^e-2r)times2 =4e(e-1)(2t)^e-2
Então
vec a(t)=l(4e^2t,,0,,4e(e-1)(2t)^e-2r)

Resposta

boxedvec v(t)=l(2e^2t,,-2,,2e(2t)^e-1r), vec a(t)=l(4e^2t,,0,,4e(e-1)(2t)^e-2r)

Exercícios relacionados