Determine em cada item a velocidade e aceleração da curva dada em cada ponto do domínio:
r(t)=(t+1, t^2-2 t, t^3+3 t+1)

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente achar, pra qualquer t, a velocidade e a aceleração da curva
r(t) = l(t+1,; t^2 - 2t,; t^3 + 3t + 1r)
Conteúdo: derivada de funções vetoriais (pra achar velocidade e aceleração) e cálculo de norma de vetor (pra achar a rapidez). Vamos precisar derivar componente a componente e depois usar a fórmula da norma em R^3:
| (a,b,c)| = raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 2

Primeiro, calculamos a velocidade v(t)=r'(t), derivando cada componente:
  • dfracddt(t+1)=1,
  • dfracddt(t^2-2t)=2t-2,
  • dfracddt(t^3+3t+1)=3t^2+3.
    Logo
v(t) = r'(t) = l(1,;2t-2,;3t^2+3r)

Passo 3

Agora, a rapidez (ou módulo da velocidade) é
|v(t)| = raiz1^2 + (2t-2)^2 + (3t^2+3)^2
Se quiser simplificar por dentro do radical:
(2t-2)^2 = 4t^2 - 8t + 4, (3t^2+3)^2 = 9t^4 + 18t^2 + 9,
então
|v(t)| = raiz1 + (4t^2-8t+4) + (9t^4+18t^2+9) = raiz9t^4 + 22t^2 - 8t + 14

Passo 4

Pra aceleração, derivamos v(t) de novo:
  • dfracddt(1)=0,
  • dfracddt(2t-2)=2,
  • dfracddt(3t^2+3)=6t.
    Fica
a(t) = v'(t) = r''(t) = l(0,;2,;6tr)

Resposta

Velocidade:
v(t) = l(1,;2t-2,;3t^2+3r)
Rapidez:
|v(t)| = raiz1 + (2t-2)^2 + (3t^2+3)^2 = raiz9t^4 + 22t^2 - 8t + 14
Aceleração:
a(t) = l(0,;2,;6tr)

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