Determine em cada item a velocidade e aceleração da curva dada em cada ponto do domínio:
r(t)=(log (1-t), log (1+t))

Passo 1

O enunciado diz: “Determine a velocidade e a aceleração da curva
r(t) = l(log(1 - t),;log(1 + t)r)
para cada ponto do domínio.”
Conteúdo: derivadas de funções vetoriais e regra da cadeia.
O que vamos precisar:
  1. Derivada de ln(u):
ddtl[ln(u(t))r] ;=;u'(t)u(t)
  1. Para segunda derivada, a derivada de u^-1:
ddtl[u(t)^-1r] ;=;-,u'(t)u(t)^2
Domínio: para manter 1pm t>0, temos tin(-1,1).

Passo 2

Calcular a velocidade v(t)= r'(t), derivando componente a componente:
  1. Para x(t)=ln(1-t), use u(t)=1-timplies u'(t)=-1.
x'(t) =ddtln(1-t) =-11-t =-11-t
  1. Para y(t)=ln(1+t), use u(t)=1+timplies u'(t)=+1.
y'(t) =ddtln(1+t) =11+t
Logo
boxed v(t)=l(-tfrac11-t,;tfrac11+tr)

Passo 3

Agora a aceleração a(t)= v'(t)= r''(t), outra derivada:
  1. Derivada de vx(t)=-,(1-t)^-1, com u(t)=1-timplies u'(t)=-1:
vx'(t) =ddtl[-(1-t)^-1r] =-l[-1cdot(1-t)^-2r] =-(1-t)^-2 =-1(1-t)^2
  1. Derivada de vy(t)=(1+t)^-1, com u(t)=1+timplies u'(t)=1:
vy'(t) =ddt(1+t)^-1 =-1cdot(1+t)^-2cdot1 =-1(1+t)^2
Logo
boxed a(t)=l(-tfrac1(1-t)^2,;-tfrac1(1+t)^2r)

Resposta

Velocidade: v(t)=l(-11-t,;11+tr).
Aceleração: a(t)=l(-1(1-t)^2,;-1(1+t)^2r), para tin(-1,1).

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