Determine em cada item a velocidade e aceleração da curva dada em cada ponto do domínio:
r(t)=(t-1t, t+1t-1, tt+1)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a velocidade e a aceleração de uma curva no espaço dada por
r(t)=l(t-1t,;t+1t-1,;tt+1r)
Conteúdo envolvido: derivada de função vetorial, usando principalmente
  1. a regra do quociente: (f/g)'=(f',g - f,g')/g^2,
  2. a regra da potência: (t^n)'=n,t^n-1.
    Vamos precisar aplicar essas regras coordenada a coordenada pra obter r'(t) (velocidade) e depois r''(t) (aceleração).

Passo 2

Calcular a velocidade v(t)=r'(t). Aí usamos a regra do quociente em cada componente:
  1. Para x(t)=t-1t:
    • f(t)=t-1 e g(t)=t f'=1, g'=1.
    • x'(t)=1cdot t - (t-1)cdot1t^2=t - t +1t^2=1t^2
  2. Para y(t)=t+1t-1:
    • f(t)=t+1 e g(t)=t-1 f'=1, g'=1.
    • y'(t)=1cdot(t-1)-(t+1)cdot1(t-1)^2=t-1-t-1(t-1)^2=-2(t-1)^2
  3. Para z(t)=tt+1:
    • f(t)=t e g(t)=t+1 f'=1, g'=1.
    • z'(t)=1cdot(t+1)-tcdot1(t+1)^2=t+1-t(t+1)^2=1(t+1)^2
Juntando,
v(t)=r'(t)=l(1t^2,;-2(t-1)^2,;1(t+1)^2r)

Passo 3

Agora a aceleração . Como cada componente de é uma potência com expoente negativo, usamos a regra da potência:



Então

Resposta

Velocidade:
boxedv(t)=l(1t^2,;-2(t-1)^2,;1(t+1)^2r)
Aceleração:
boxeda(t)=l(-2t^3,;4(t-1)^3,;-2(t+1)^3r)

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