Determine em cada item a velocidade e aceleração da curva dada em cada ponto do domínio:
r(t)=(tan t pi, 1-t pi)

Passo 1

Resumo: Queremos encontrar a velocidade e a aceleração da curva
r(t) = l(tan(pi t),;1 - pi tr)
Matéria: funções vetoriais e derivadas.
O que vamos precisar:
  • Regra da cadeia para derivar tan(pi t).
  • Derivada de função afim para derivar 1 - pi t.
    Domínio: t tal que cos(pi t)neq0, pois tan(pi t) precisa existir.

Passo 2

Vamos achar a velocidade v(t)=r'(t) derivando cada componente:
  1. x(t)=tan(pi t).
    Pela regra da cadeia,
ddttan(u)|u=pi t = sec^2(u),dudt = sec^2(pi t)cdotpi = pi,sec^2(pi t)
  1. y(t)=1-pi t.
    É função afim, então
ddt(1-pi t) = -pi
Logo
v(t) = l(pi,sec^2(pi t),;-,pir)

Passo 3

Agora a aceleração a(t)=v'(t):
  1. Componente v1(t)=pi,sec^2(pi t).
    Novamente regra da cadeia + derivada de sec^2:
ddtsec^2(u)|u=pi t = 2,sec(u),sec(u),tan(u),dudt = 2,sec^2(pi t),tan(pi t),pi
Multiplicando pelo pi que já estava em v1:
ddtl[pi,sec^2(pi t)r] = pi times l[2pi,sec^2(pi t),tan(pi t)r] = 2pi^2,sec^2(pi t),tan(pi t)
  1. Componente v2(t)=-pi é constante, logo a derivada é 0.
Portanto
a(t) = l(2pi^2,sec^2(pi t),tan(pi t),;0r)

Resposta

Velocidade: v(t) = l(pi,sec^2(pi t),, -pir)
Aceleração: a(t) = l(2pi^2,sec^2(pi t),tan(pi t),,0r)

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