Resolva a equação em lambda, det(A-lambda I2)=0, onde A=[ll2 & 1 1 & 3].

Passo 1

A questão pede para encontrar os valores de lambda que satisfazem det(A - lambda I2) = 0, onde a matriz é A = 2 & 1 1 & 3. Isso faz parte do cálculo de autovalores (eigenvalues) via polinômio característico e vamos usar propriedades de determinante e resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz A - lambda I2 e escrevemos seu determinante como polinômio em lambda:

Passo 3

A - lambda I2 = 2 - lambda & 1 1 & 3 - lambda

Passo 4

e

Passo 5

det(A - lambda I2) = (2 - lambda)(3 - lambda) - 1 cdot 1

Passo 6

Em seguida, expandimos e simplificamos para obter o polinômio característico:

Passo 7

(2 - lambda)(3 - lambda) - 1 = 6 - 2lambda - 3lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 5lambda + 5

Passo 8

Agora resolvemos a equação quadrática lambda^2 - 5lambda + 5 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 9

lambda = 5 pm raiz5^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 5 pm raiz25 - 202 = 5 pm raiz52

Resposta

Os autovalores são lambda1 = tfrac5 + raiz52 e lambda2 = tfrac5 - raiz52.

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