Determine cada limite, se existir:
(a) \lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x)
(b) \lim_{x \rightarrow a} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-1} ; a=1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedidos:
    (a) Calcular \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x).
    (b) Calcular \displaystyle \lim_{x\to a} f(x).
    (c) Calcular \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) (é repetido no enunciado; trata-se do limite bilateral em a novamente).
  • Informações fornecidas:
    • f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-1}.
    • a=1.

Passo 2

Ideia geral e propriedades que vamos usar (explicadas com calma).
  • Uma função polinomial, como x\mapsto x^{3}-1, é contínua em todo ponto real. Isso significa que se x\to 1 então x^{3}-1\to 1^{3}-1=0.
  • A função raiz cúbica, t\mapsto \sqrt[3]{t}, é contínua para todo t\in\mathbb{R} (raízes ímpares são definidas e contínuas em todo \mathbb{R}). Continuidade da raiz cúbica significa: se t_n\to t então \sqrt[3]{t_n}\to\sqrt[3]{t}.
  • Composição de funções contínuas é contínua. Logo, f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-1} é contínua em x=1. Pela definição de continuidade em um ponto: se f é contínua em a então \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Vou detalhar essas ideias de forma concreta logo a seguir.

Passo 3

Calcular o valor de f em a=1.
  • Substituindo x=1 em f:
f(1)=\sqrt[3]{1^{3}-1}=\sqrt[3]{0}=0.
  • Se mostrarmos que f é contínua em 1, já teremos imediatamente \displaystyle \lim_{x\to1} f(x)=0 e também as limites laterais iguais a 0.

Passo 4

Demonstração mais algébrica e intuitiva de que o limite (tanto lateral quanto bilateral) vale 0.
  • Faça a mudança t=x-1. Quando x\to1, tem-se t\to0. Reescrevendo x em função de t:
x=1+t\quad\Rightarrow\quad x^{3}-1=(1+t)^{3}-1.
  • Expandindo o binômio:
(1+t)^{3}-1 = 3t+3t^{2}+t^{3}=t\,(3+3t+t^{2}).
  • Portanto
f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-1}=\sqrt[3]{t\,(3+3t+t^{2})}=\sqrt[3]{t}\,\sqrt[3]{3+3t+t^{2}}.
  • Agora analisa-se o comportamento quando t\to0:
    • \sqrt[3]{3+3t+t^{2}}\to\sqrt[3]{3} porque 3+3t+t^{2}\to3 e raiz cúbica é contínua.
    • \sqrt[3]{t}\to0 porque t\to0 e raiz cúbica é contínua (note que isso ocorre tanto quando t\to0^- quanto t\to0^+; a raiz cúbica preserva o sinal).
  • Produto: como \sqrt[3]{3+3t+t^{2}} tende a uma constante finita \sqrt[3]{3} e \sqrt[3]{t}\to0, o produto tende a 0. Logo
\lim_{t\to0}\sqrt[3]{t}\,\sqrt[3]{3+3t+t^{2}}=0.
  • Voltando para x: isso mostra que
\lim_{x\to1} \sqrt[3]{x^{3}-1}=0,
e a mesma conclusão vale tanto para a aproximação por esquerda ( x\to1^-) quanto por direita ( x\to1^+), porque a construção não faz distinção de sinal — a raiz cúbica trata os dois sinais.

Passo 5

Conclusão prática para cada item pedido (explicando em linguagem amigável).
  • Como f é efetivamente contínua em x=1 e f(1)=0, todas as formas de limite pedidas existem e valem 0.
  • Em termos intuitivos: perto de x=1 o fator dominante em x^{3}-1 é algo proporcional a x-1, e a raiz cúbica desse pequeno valor tende para 0 quando x se aproxima de 1 por qualquer lado.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=0
(b) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=0
(c) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=0

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