Determine cada limite, se existir:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
-
Pedidos:
(a) Calcular.
(b) Calcular.
(c) Calcular(é repetido no enunciado; trata-se do limite bilateral em novamente). -
Informações fornecidas:
-
. -
.
-
Passo 2
Ideia geral e propriedades que vamos usar (explicadas com calma).
- Uma função polinomial, como
, é contínua em todo ponto real. Isso significa que se então . - A função raiz cúbica,
, é contínua para todo (raízes ímpares são definidas e contínuas em todo ). Continuidade da raiz cúbica significa: se então . - Composição de funções contínuas é contínua. Logo,
é contínua em . Pela definição de continuidade em um ponto: se é contínua em então .
Vou detalhar essas ideias de forma concreta logo a seguir.
Passo 3
Calcular o valor de
em
.
- Substituindo
em :
- Se mostrarmos que
é contínua em , já teremos imediatamente e também as limites laterais iguais a .
Passo 4
Demonstração mais algébrica e intuitiva de que o limite (tanto lateral quanto bilateral) vale
.
- Faça a mudança
. Quando , tem-se . Reescrevendo em função de :
- Expandindo o binômio:
- Portanto
- Agora analisa-se o comportamento quando
: -
porque e raiz cúbica é contínua. -
porque e raiz cúbica é contínua (note que isso ocorre tanto quando quanto ; a raiz cúbica preserva o sinal).
-
- Produto: como
tende a uma constante finita e , o produto tende a . Logo
- Voltando para
: isso mostra que
e a mesma conclusão vale tanto para a aproximação por esquerda (
) quanto por direita (
), porque a construção não faz distinção de sinal — a raiz cúbica trata os dois sinais.
Passo 5
Conclusão prática para cada item pedido (explicando em linguagem amigável).
- Como
é efetivamente contínua em e , todas as formas de limite pedidas existem e valem . - Em termos intuitivos: perto de
o fator dominante em é algo proporcional a , e a raiz cúbica desse pequeno valor tende para quando se aproxima de por qualquer lado.
Resposta
(a)
(b)
(c)