Determine cada limite:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A variável que tende a um valor é
, com . - O numerador é
. - O denominador é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Vamos fazer uma mudança de variável que deixa a expressão mais clara. Defina
Explicação didática: aqui
é a raiz cúbica de
e
é a raiz cúbica de
. Como a função raiz cúbica é contínua, quando
temos
. Em notação,
Passo 3
Reescrevendo
em termos de
e
: temos
e
. Então o denominador
pode ser escrito como
Agora usamos a identidade algébrica importante (que vale para quaisquer
):
Aplicando essa identidade com
e
obtemos
Passo 4
Substituindo essas expressões na fração original (para
, ou seja,
) obtemos
Podemos cancelar o fator comum
(válido enquanto
, e para o limite interessa o comportamento quando
se aproxima de
), ficando
Comentário didático: esse tipo de cancelamento é uma técnica clássica para remover a indeterminação
; simplifica a expressão e permite calcular o limite.
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Lembrando que então
, e a função
é um polinômio em
(logo contínuo), podemos simplesmente substituir
no denominador:
Passo 6
Substituindo
no resultado:
portanto
Formas equivalentes, úteis para a prova:
Passo 7
Comentário extra (conexão conceitual, para fixar): essa expressão é exatamente a derivada da função
em
, pois
o que confirma o resultado obtido por fatoração. Isso ajuda a memorizar: limites no formato
frequentemente representam a derivada
.