Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a um valor é x, com x \to 2.
  • O numerador é \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}.
  • O denominador é x-2.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos fazer uma mudança de variável que deixa a expressão mais clara. Defina
a=\sqrt[3]{x},\qquad b=\sqrt[3]{2}.
Explicação didática: aqui a é a raiz cúbica de x e b é a raiz cúbica de 2. Como a função raiz cúbica é contínua, quando x\to2 temos a\to b. Em notação,
x\to2 \quad\Rightarrow\quad a=\sqrt[3]{x}\to\sqrt[3]{2}=b.

Passo 3

Reescrevendo x em termos de a e b: temos x=a^3 e 2=b^3. Então o denominador x-2 pode ser escrito como
x-2=a^3-b^3.
Agora usamos a identidade algébrica importante (que vale para quaisquer u,v):
u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2).
Aplicando essa identidade com u=a e v=b obtemos
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).

Passo 4

Substituindo essas expressões na fração original (para x\neq2, ou seja, a\neq b) obtemos
\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2} =\frac{a-b}{a^3-b^3} =\frac{a-b}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}.
Podemos cancelar o fator comum a-b (válido enquanto a\neq b, e para o limite interessa o comportamento quando a se aproxima de b), ficando
\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2}=\frac{1}{a^2+ab+b^2}\qquad(x\neq2).
Comentário didático: esse tipo de cancelamento é uma técnica clássica para remover a indeterminação \tfrac{0}{0}; simplifica a expressão e permite calcular o limite.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando x\to2. Lembrando que então a\to b, e a função g(a)=a^2+ab+b^2 é um polinômio em a (logo contínuo), podemos simplesmente substituir a=b no denominador:
\lim_{x\to2}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2} =\lim_{a\to b}\frac{1}{a^2+ab+b^2} =\frac{1}{b^2+bb+b^2} =\frac{1}{3b^2}.

Passo 6

Substituindo b=\sqrt[3]{2} no resultado:
b^2=\big(\sqrt[3]{2}\big)^2=2^{2/3},
portanto
\lim_{x\to2}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2} =\frac{1}{3\cdot 2^{2/3}}.
Formas equivalentes, úteis para a prova:
\frac{1}{3\cdot 2^{2/3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{4}}=\frac{1}{3}\,2^{-2/3}.

Passo 7

Comentário extra (conexão conceitual, para fixar): essa expressão é exatamente a derivada da função f(x)=x^{1/3} em x=2, pois
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}\quad\Rightarrow\quad f'(2)=\frac{1}{3}2^{-2/3},
o que confirma o resultado obtido por fatoração. Isso ajuda a memorizar: limites no formato \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} frequentemente representam a derivada f'(a).

Resposta

\dfrac{1}{3\cdot 2^{2/3}} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{4}}

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