Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-2 \sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^{2}}\,),

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a 1:
\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^{2}}.
Informações dadas e objetivos claros:
  • A expressão envolve raízes cúbicas: \sqrt[3]{x} = x^{1/3}.
  • O numerador é \sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1.
  • O denominador é (x-1)^{2}.
  • Queremos o valor numérico do limite \displaystyle\lim_{x\to 1} dessa razão.

Passo 2

Estratégia/transformação inicial (explicação didática do porquê): quando aparece \sqrt[3]{x} e \sqrt[3]{x^{2}} é muito útil fazer a substituição que simplifica as potências fracionárias. Defino a nova variável
t=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Explicando essa escolha de forma simples: então \sqrt[3]{x^{2}}=(x^{1/3})^{2}=t^{2} e também x=t^{3}. Essa substituição transforma potências fracionárias em potências inteiras, o que facilita fatorações e cancelamentos.
Observação sobre limites: quando x\to 1 então t=\sqrt[3]{x}\to \sqrt[3]{1}=1, porque a função \sqrt[3]{\cdot} é contínua em 1. Portanto podemos estudar o limite em função de t com t\to 1.

Passo 3

Reescrevendo numerador e denominador em função de t:
  • Numerador:
\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1 = t^{2}-2t+1.
Note que t^{2}-2t+1=(t-1)^{2}; isso é simplesmente a identidade do quadrado: (t-1)^{2}=t^{2}-2t+1.
  • Denominador:
(x-1)^{2}=(t^{3}-1)^{2}.
Aqui aparece t^{3}-1, e vale lembrar a fatoração clássica da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=t e b=1 obtemos
t^{3}-1=(t-1)(t^{2}+t+1).
Portanto
(x-1)^{2}=(t^{3}-1)^{2}=(t-1)^{2}(t^{2}+t+1)^{2}.

Passo 4

Substituindo essas expressões no quociente original:
\frac{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^{2}} = \frac{t^{2}-2t+1}{(t^{3}-1)^{2}} = \frac{(t-1)^{2}}{(t-1)^{2}(t^{2}+t+1)^{2}}.
Agora fica claro que há um fator (t-1)^{2} tanto no numerador quanto no denominador. Como estamos interessados no limite quando t\to 1, podemos cancelar esse fator, desde que reconheçamos que para t\neq 1 a expressão é equivalente e a remoção do fator não altera o limite. Após o cancelamento obtemos:
\frac{(t-1)^{2}}{(t-1)^{2}(t^{2}+t+1)^{2}}=\frac{1}{(t^{2}+t+1)^{2}},\qquad t\neq 1.

Passo 5

Avaliação do limite após simplificação: a função \dfrac{1}{(t^{2}+t+1)^{2}} é contínua no ponto t=1 (nenhum denominador zero ali), então o limite quando t\to 1 é simplesmente a substituição t=1. Portanto
\lim_{t\to 1}\frac{1}{(t^{2}+t+1)^{2}}=\frac{1}{(1^{2}+1+1)^{2}}=\frac{1}{(1+1+1)^{2}}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}.

Passo 6

Interpretação final e checagem curta: fizemos a substituição t=\sqrt[3]{x} para transformar potências fracionárias em polinômios, usamos a fatoração da diferença de cubos para encontrar um fator comum (t-1)^{2} que cancela, e então avaliamos a função contínua remanescente em t=1. O resultado é \dfrac{1}{9}. Isso pode ser conferido também expandindo em série (método mais avançado) ou aplicando l’Hôpital duas vezes depois de converter para uma forma que dê 0/0, mas a via usada é mais direta e limpa.

Resposta

\dfrac{1}{9}

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