Determine cada limite:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e objetivos claros:
- A expressão envolve raízes cúbicas:
. - O numerador é
. - O denominador é
. - Queremos o valor numérico do limite
dessa razão.
Passo 2
Estratégia/transformação inicial (explicação didática do porquê): quando aparece
e
é muito útil fazer a substituição que simplifica as potências fracionárias. Defino a nova variável
Explicando essa escolha de forma simples: então
e também
. Essa substituição transforma potências fracionárias em potências inteiras, o que facilita fatorações e cancelamentos.
Observação sobre limites: quando
então
, porque a função
é contínua em
. Portanto podemos estudar o limite em função de
com
.
Passo 3
Reescrevendo numerador e denominador em função de
:
- Numerador:
Note que
; isso é simplesmente a identidade do quadrado:
.
- Denominador:
Aqui aparece
, e vale lembrar a fatoração clássica da diferença de cubos:
Aplicando com
e
obtemos
Portanto
Passo 4
Substituindo essas expressões no quociente original:
Agora fica claro que há um fator
tanto no numerador quanto no denominador. Como estamos interessados no limite quando
, podemos cancelar esse fator, desde que reconheçamos que para
a expressão é equivalente e a remoção do fator não altera o limite. Após o cancelamento obtemos:
Passo 5
Avaliação do limite após simplificação: a função
é contínua no ponto
(nenhum denominador zero ali), então o limite quando
é simplesmente a substituição
. Portanto
Passo 6
Interpretação final e checagem curta: fizemos a substituição
para transformar potências fracionárias em polinômios, usamos a fatoração da diferença de cubos para encontrar um fator comum
que cancela, e então avaliamos a função contínua remanescente em
. O resultado é
. Isso pode ser conferido também expandindo em série (método mais avançado) ou aplicando l’Hôpital duas vezes depois de converter para uma forma que dê
, mas a via usada é mais direta e limpa.