Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-3 x^{2}}{x^{2}-4 x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 3 da função racional
\frac{x^{3}-3 x^{2}}{x^{2}-4 x+3}.
Informações dadas:
  • A expressão do numerador é x^{3}-3 x^{2}.
  • A expressão do denominador é x^{2}-4 x+3.
    O que se quer: \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^{3}-3 x^{2}}{x^{2}-4 x+3}.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar substituir x=3 diretamente para ver se a expressão tem valor definido ou é uma indeterminação.
\text{Numerador em }x=3:\quad 3^{3}-3\cdot3^{2}=27-27=0.
\text{Denominador em }x=3:\quad 3^{2}-4\cdot3+3=9-12+3=0.
Como numerador e denominador valem 0 em x=3, temos uma forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta e precisamos manipular a expressão (por exemplo, fatorando ou usando outro método) para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Vamos tentar fatorar numerador e denominador — método algébrico simples e apropriado aqui.
Fatorando o numerador por fator comum:
x^{3}-3 x^{2}=x^{2}(x-3).
Fatorando o denominador procurando raízes inteiras (ou usando fórmula quadrática):
x^{2}-4 x+3=(x-1)(x-3).
(Verificação rápida: (x-1)(x-3)=x^{2}-3x-x+3=x^{2}-4x+3.)

Passo 4

Agora escrevemos a expressão original usando as fatorações:
\frac{x^{3}-3 x^{2}}{x^{2}-4 x+3}=\frac{x^{2}(x-3)}{(x-1)(x-3)}.
Para x\neq 3 é legítimo cancelar o fator (x-3), obtendo a função equivalente para x próximos de 3 (exceto em x=3 onde a original não está definida):
\frac{x^{2}(x-3)}{(x-1)(x-3)}=\frac{x^{2}}{x-1}\qquad\text{(para }x\neq 3\text{)}.
Explicação didática rápida: como limite olha o comportamento quando x se aproxima de 3, não importa o valor exatamente em x=3; podemos simplificar a expressão válida em um entorno de 3 (exceto no próprio ponto) e então tomar o limite da expressão simplificada.

Passo 5

Agora a função simplificada \dfrac{x^{2}}{x-1} é contínua em x=3 (denominador não nulo em 3), então o limite é obtido por substituição direta:
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}}{x-1}=\frac{3^{2}}{3-1}=\frac{9}{2}.

Passo 6

Confirmação alternativa (opcional, só para segurança): poderíamos aplicar a regra de L’Hôpital à forma 0/0. Derivando numerador e denominador:
\text{Derv. do numerador }=3x^{2}-6x,\qquad \text{Derv. do denominador }=2x-4.
Aplicando em x=3:
\frac{3\cdot3^{2}-6\cdot3}{2\cdot3-4}=\frac{27-18}{6-4}=\frac{9}{2},
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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