Determine cada limite:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função racional
Informações dadas:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
.
O que se quer:.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar substituir
diretamente para ver se a expressão tem valor definido ou é uma indeterminação.
Como numerador e denominador valem
em
, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta e precisamos manipular a expressão (por exemplo, fatorando ou usando outro método) para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Vamos tentar fatorar numerador e denominador — método algébrico simples e apropriado aqui.
Fatorando o numerador por fator comum:
Fatorando o denominador procurando raízes inteiras (ou usando fórmula quadrática):
(Verificação rápida:
.)
Passo 4
Agora escrevemos a expressão original usando as fatorações:
Para
é legítimo cancelar o fator
, obtendo a função equivalente para
próximos de
(exceto em
onde a original não está definida):
Explicação didática rápida: como limite olha o comportamento quando
se aproxima de
, não importa o valor exatamente em
; podemos simplificar a expressão válida em um entorno de
(exceto no próprio ponto) e então tomar o limite da expressão simplificada.
Passo 5
Agora a função simplificada
é contínua em
(denominador não nulo em
), então o limite é obtido por substituição direta:
Passo 6
Confirmação alternativa (opcional, só para segurança): poderíamos aplicar a regra de L’Hôpital à forma
. Derivando numerador e denominador:
Aplicando em
:
que coincide com o resultado anterior.