Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-6 x^{2}+3 x+2}{x^{3}+x^{2}-3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-6x^{2}+3x+2}{x^{3}+x^{2}-3x+1}.
Informações dadas:
  • O numerador é x^{3}-6x^{2}+3x+2.
  • O denominador é x^{3}+x^{2}-3x+1.
    Observação inicial (substituição direta): calcular em x=1
\text{numerador}(1)=1-6+3+2=0, \qquad \text{denominador}(1)=1+1-3+1=0,
ou seja, a substituição direta dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

O que fazem os matemáticos quando aparece \tfrac{0}{0} com polinômios? Uma ferramenta básica: o Teorema do Resto / Teorema do Fator. Ele diz que, se um polinômio P(x) satisfaz P(a)=0, então (x-a) é fator de P(x). Aqui, como ambos polinômios valem zero em x=1, isso indica que (x-1) é fator tanto do numerador quanto do denominador. Então devemos factorizar cada um por (x-1) e cancelar esse fator comum (válido enquanto x\neq1, que é o caso na definição de limite).
Vou mostrar passo a passo como dividir por (x-1) usando a divisão sintética (método prático):

Passo 3

Fatorando o numerador N(x)=x^{3}-6x^{2}+3x+2.
Coeficientes: 1,\\\ -6,\\\ 3,\\\ 2. Divisão sintética por x-1 (ou seja, com a raiz 1):
  • Traga o 1 inicial para baixo: fica 1.
  • Multiplica 1 por 1 e soma ao próximo coeficiente: -6+1=-5.
  • Multiplica -5 por 1 e soma ao próximo coeficiente: 3+(-5)=-2.
  • Multiplica -2 por 1 e soma ao próximo coeficiente: 2+(-2)=0 (resto zero, como esperado).
O quociente tem coeficientes 1,\\\ -5,\\\ -2, ou seja o polinômio x^{2}-5x-2. Portanto
x^{3}-6x^{2}+3x+2=(x-1)(x^{2}-5x-2).

Passo 4

Fatorando o denominador D(x)=x^{3}+x^{2}-3x+1.
Coeficientes: 1,\\\ 1,\\\ -3,\\\ 1. Divisão sintética por x-1:
  • Traga o 1 para baixo: 1.
  • Multiplica 1 por 1 e soma ao próximo coeficiente: 1+1=2.
  • Multiplica 2 por 1 e soma ao próximo coeficiente: -3+2=-1.
  • Multiplica -1 por 1 e soma ao próximo coeficiente: 1+(-1)=0 (resto zero).
O quociente tem coeficientes 1,\\\ 2,\\\ -1, ou seja x^{2}+2x-1. Assim
x^{3}+x^{2}-3x+1=(x-1)(x^{2}+2x-1).

Passo 5

Com as duas fatorações, a expressão original para x\neq1 fica
\frac{x^{3}-6x^{2}+3x+2}{x^{3}+x^{2}-3x+1} =\frac{(x-1)(x^{2}-5x-2)}{(x-1)(x^{2}+2x-1)} =\frac{x^{2}-5x-2}{x^{2}+2x-1}\quad (x\neq1).
Para o cálculo do limite \lim_{x\to1} vale olhar a função reduzida acima, porque ao aproximar x de 1 estamos sempre com x\neq1 e a igualdade é válida nesses pontos. Além disso, polinômios e quocientes de polinômios (quando o denominador não zera) são funções contínuas, então o limite é obtido substituindo x=1 na função reduzida.

Passo 6

Avaliar a função reduzida em x=1:
\text{numerador reduzido em }1: \;1^{2}-5\cdot1-2=1-5-2=-6,
\text{denominador reduzido em }1: \;1^{2}+2\cdot1-1=1+2-1=2.
Portanto o valor da fração é
\frac{-6}{2}=-3.

Passo 7

Conclusão final: o limite existe e vale -3. Bom trabalho! Se quiser, posso mostrar a verificação usando a Regra de L’Hôpital só para confirmar o mesmo resultado.

Resposta

-3

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