Determine cada limite:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
.
Observação inicial (substituição direta): calcular em
ou seja, a substituição direta dá a forma indeterminada
.
Passo 2
O que fazem os matemáticos quando aparece
com polinômios? Uma ferramenta básica: o Teorema do Resto / Teorema do Fator. Ele diz que, se um polinômio
satisfaz
, então
é fator de
. Aqui, como ambos polinômios valem zero em
, isso indica que
é fator tanto do numerador quanto do denominador. Então devemos factorizar cada um por
e cancelar esse fator comum (válido enquanto
, que é o caso na definição de limite).
Vou mostrar passo a passo como dividir por
usando a divisão sintética (método prático):
Passo 3
Fatorando o numerador
.
Coeficientes:
. Divisão sintética por
(ou seja, com a raiz
):
- Traga o
inicial para baixo: fica . - Multiplica
por e soma ao próximo coeficiente: . - Multiplica
por e soma ao próximo coeficiente: . - Multiplica
por e soma ao próximo coeficiente: (resto zero, como esperado).
O quociente tem coeficientes
, ou seja o polinômio
. Portanto
Passo 4
Fatorando o denominador
.
Coeficientes:
. Divisão sintética por
:
- Traga o
para baixo: . - Multiplica
por e soma ao próximo coeficiente: . - Multiplica
por e soma ao próximo coeficiente: . - Multiplica
por e soma ao próximo coeficiente: (resto zero).
O quociente tem coeficientes
, ou seja
. Assim
Passo 5
Com as duas fatorações, a expressão original para
fica
Para o cálculo do limite
vale olhar a função reduzida acima, porque ao aproximar
de
estamos sempre com
e a igualdade é válida nesses pontos. Além disso, polinômios e quocientes de polinômios (quando o denominador não zera) são funções contínuas, então o limite é obtido substituindo
na função reduzida.
Passo 6
Avaliar a função reduzida em
:
Portanto o valor da fração é
Passo 7
Conclusão final: o limite existe e vale
. Bom trabalho! Se quiser, posso mostrar a verificação usando a Regra de L’Hôpital só para confirmar o mesmo resultado.