Determine cada um dos limites dados a seguir.
lim x 0(1+x^2)^1 / x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0(1+x^2)^1/x^2. O conteúdo abordado é limites do tipo 1^infty, para o qual vamos usar o limite notável limuto0(1+u)^1/u=e e a técnica de logaritmo.

Passo 2

Primeiro reconhecemos que quando xto0 temos a forma indeterminada 1^infty. Para eliminar essa indeterminação, definimos y=(1+x^2)^1/x^2 e estudamos o limite de ln y:
ln y=ln(1+x^2)x^2

Passo 3

Calculamos limxto0ln y. Note que é uma forma 0/0, então aplicamos a regra de l’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a x temos:
ddx[ln(1+x^2)]=2x1+x^2, ddx[x^2]=2x
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limxto0ln(1+x^2)x^2= limxto02x/(1+x^2)2x= limxto011+x^2=1

Passo 4

Como limxto0ln y=1, concluímos que limxto0y=e^1=e. Portanto o limite original é e.

Resposta

e

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