Determine cada um dos limites dados a seguir.
lim x +infty(1+1x^2)^x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+inftyl(1+tfrac1x^2r)^x^2. Isso envolve limites do tipo exponencial (forma (1+u)^1/u) e vamos usar a técnica de escrever o termo como exponencial de um logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos a expressão na forma e^L, definindo
L = limxto+infty x^2 lnl(1+tfrac1x^2r) Assim
limxto+inftyl(1+tfrac1x^2r)^x^2 = e^L

Passo 3

Para calcular L observamos que se define uma indeterminação 0/0 ao escrever
L = limxto+infty lnl(1+tfrac1x^2r)1/x^2 Podemos então aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
  • Numerador: ddxln(1+1/x^2)=-2/x^31+1/x^2.
  • Denominador: ddx(1/x^2)=-2/x^3
    Logo,
L = limxto+infty (-2/x^3)/(1+1/x^2)-2/x^3 = limxto+infty 11+1/x^2 = 1

Passo 5

Como L=1, voltamos à forma exponencial e concluímos que
limxto+inftyl(1+tfrac1x^2r)^x^2 = e^1 = e

Resposta

e

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