Determine cada um dos limites dados a seguir.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0}, e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolvê-lo.

Passo 2

Verificamos primeiro a forma indeterminada ao substituir x=0:
1-\cos(0)=1-1=0 \qquad\text{e}\qquad 0^2=0,
logo \frac{1-\cos(x)}{x^2} é do tipo \frac{0}{0}.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez, diferenciamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(1-\cos(x)\bigr)=\sin(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr)=2x.
O limite vira
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{2x},
que ainda é do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 4

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez, diferenciando de novo:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\bigr)=\cos(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2.
O limite passa a ser
\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)}{2}.

Passo 5

Como \cos(0)=1, concluímos
\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)}{2}=\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac12

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