Determine cada um dos limites dados a seguir.
,
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função envolvida é a função seno, escrita aqui como
. - A variável
tende a . - Não há outras condições nem restrições.
Passo 2
Uma ideia simples é reescrever a expressão para usar um limite padrão conhecido. Faça a substituição intermediária
. Observamos que quando
então
. Reescrevendo a expressão original em termos de
(mas mantendo
quando necessário):
Para manipular melhor, é útil fatorar por
. Note que
, então
Portanto o limite procurado é igual a
Passo 3
Agora precisamos conhecer o comportamento do fator
quando
. Há um limite padrão e fundamental:
Explicação (sucinta e clássica) desse fato: para
pequeno e positivo, usando uma argumentação geométrica com o círculo trigonométrico (áreas de triângulos e setor circular) obtém-se a desigualdade
Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
. Para
negativo usa-se que a razão é uma função par (ou aplica-se o mesmo argumento com valores absolutos); no fim o limite é
.
Aplicando isso ao nosso caso, com
, temos
Passo 4
Voltando à expressão fatorada do Passo 2, usamos que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem e são finitos). Temos
Pelo Passo 3 o primeiro limite vale
. O segundo é imediato:
Portanto o produto é
.