Determine cada um dos limites dados a seguir.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x},

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x}.
Informações dadas:
  • A função envolvida é a função seno, escrita aqui como \operatorname{sen}.
  • A variável x tende a 0.
  • Não há outras condições nem restrições.

Passo 2

Uma ideia simples é reescrever a expressão para usar um limite padrão conhecido. Faça a substituição intermediária u = x^{3}. Observamos que quando x\to 0 então u\to 0. Reescrevendo a expressão original em termos de u (mas mantendo x quando necessário):
\frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x} = \frac{\operatorname{sen}(u)}{x}.
Para manipular melhor, é útil fatorar por u. Note que u=x^{3}, então
\frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x} = \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\cdot \frac{u}{x} = \frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x^{3}}\cdot x^{2}.
Portanto o limite procurado é igual a
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x} = \lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x^{3}}\cdot x^{2}\right).

Passo 3

Agora precisamos conhecer o comportamento do fator \dfrac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x^{3}} quando x\to 0. Há um limite padrão e fundamental:
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Explicação (sucinta e clássica) desse fato: para t pequeno e positivo, usando uma argumentação geométrica com o círculo trigonométrico (áreas de triângulos e setor circular) obtém-se a desigualdade
\cos t \le \frac{\operatorname{sen} t}{t} \le 1\qquad\text{para }0<t<\tfrac{\pi}{2}.
Como \lim_{t\to 0}\cos t=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}=1. Para t negativo usa-se que a razão é uma função par (ou aplica-se o mesmo argumento com valores absolutos); no fim o limite é 1.
Aplicando isso ao nosso caso, com t=x^{3}, temos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=1.

Passo 4

Voltando à expressão fatorada do Passo 2, usamos que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem e são finitos). Temos
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x^{3}}\cdot x^{2}\right) = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}{x^{3}}\right)\cdot \left(\lim_{x\to 0}x^{2}\right).
Pelo Passo 3 o primeiro limite vale 1. O segundo é imediato:
\lim_{x\to 0} x^{2}=0.
Portanto o produto é 1\cdot 0 = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados