DETERMINE CADA PRIMITIVA
\int \frac{x d x}{\left(x{2}+1\right){2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
\int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx.
O conteúdo envolvido é a técnica de substituição, pois vemos que o numerador x\,dx é, até constante, a derivada do denominador x^2+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2 + 1.
Dessa forma, ao derivar ambos os lados,
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx = \int \frac{1}{u^2}\,\biggl(\frac{1}{2}\,du\biggr) = \frac{1}{2}\,\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{-2}. Usamos a fórmula
\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \quad(n\neq -1),
portanto
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.
Multiplicando por \tfrac12,
\frac{1}{2}\,\int u^{-2}\,du = -\frac{1}{2}\,u^{-1} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u = x^2 + 1, obtemos a primitiva
-\frac{1}{2}\,\frac{1}{x^2+1} + C.

Resposta

-\frac{1}{2(x^2+1)} + C.

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