DETERMINE CADA PRIMITIVA
\int \frac{\sqrt{1+e{x}}}{e{-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma primitiva de
\int \frac{\sqrt{1+e^{x}}}{e^{-x}}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição. Vamos precisar simplificar a expressão e escolher uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a fração usando e^{-x} no denominador:
\frac{\sqrt{1+e^{x}}}{e^{-x}} = \sqrt{1+e^{x}}\;\cdot e^{x}.
Logo, a integral vira
\int e^{x}\,\sqrt{1+e^{x}}\;dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
t = 1 + e^{x}.
Então
dt = e^{x}\,dx
e a integral se transforma em
\int e^{x}\,\sqrt{1+e^{x}}\;dx = \int \sqrt{t}\;dt.

Passo 4

Agora integramos \sqrt{t}=t^{1/2}:
\int t^{1/2}\;dt = \frac{t^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\,t^{3/2}.

Passo 5

Voltando à variável x, temos t=1+e^{x}. Portanto a primitiva é
\frac{2}{3}\,(1+e^{x})^{3/2} + C.

Resposta

\int \frac{\sqrt{1+e^{x}}}{e^{-x}}\,dx = \frac{2}{3}\,(1+e^{x})^{3/2} + C.

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