DETERMINE CADA PRIMITIVA
\int(3 x+1) e^{3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva indefinida da função (3x+1)e^{3x}. O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos um produto onde uma parte é polinomial e a outra é exponencial.

Passo 2

Escolhemos em \int u\,dv
u = 3x + 1, \quad dv = e^{3x} \,dx.
Logo, derivando u e integrando dv, obtemos
du = 3\,dx, \quad v = \int e^{3x} \,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int (3x+1)e^{3x}\,dx = (3x+1)\,\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\cdot 3\,dx.

Passo 4

Simplificando o termo à direita:
(3x+1)\,\frac{1}{3}e^{3x} = \Bigl(x + \tfrac{1}{3}\Bigr)e^{3x}, \quad \int \frac{1}{3}e^{3x}\cdot 3\,dx = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Assim,
\int (3x+1)e^{3x}\,dx = \Bigl(x + \tfrac{1}{3}\Bigr)e^{3x} - \frac{1}{3}e^{3x} + C = x e^{3x} + C.

Resposta

x e^{3x} + C

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