DETERMINE CADA PRIMITIVA
\int \frac{\left(x^{3}+2 x^{2}-x+1\right)}{(2 x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \frac{x^{3} + 2x^{2} - x + 1}{2x + 1}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de função racional: vamos usar divisão de polinômios para escrever o quociente mais o resto sobre o divisor e depois integrar termo a termo (potências e logaritmo).

Passo 2

Fazendo a divisão de x^{3}+2x^{2}-x+1 por 2x+1, obtemos o quociente e o resto:
\frac{x^{3}+2x^{2}-x+1}{2x+1} = \frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{4}x-\frac{7}{8} \;+\;\frac{\tfrac{15}{8}}{2x+1}.
Logo
\int \frac{x^{3}+2x^{2}-x+1}{2x+1}\,dx = \int \Bigl(\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{3}{4}x-\tfrac{7}{8}\Bigr)\,dx \;+\;\int \frac{\tfrac{15}{8}}{2x+1}\,dx.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int \tfrac{1}{2}x^{2}\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6},
\int \tfrac{3}{4}x\,dx = \tfrac{3}{4}\cdot \frac{x^{2}}{2} = \frac{3}{8}x^{2},
\int -\tfrac{7}{8}\,dx = -\frac{7}{8}x,
para a parte racional, fazemos u = 2x+1, du=2\,dx, logo
\int \frac{\tfrac{15}{8}}{2x+1}\,dx = \frac{15}{8}\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac{15}{16}\ln\bigl|u\bigr| = \frac{15}{16}\ln\bigl|2x+1\bigr|.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{3}+2x^{2}-x+1}{2x+1}\,dx = \frac{x^{3}}{6} \;+\;\frac{3}{8}x^{2}\;-\;\frac{7}{8}x \;+\;\frac{15}{16}\ln\bigl|2x+1\bigr| + C. }

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